Question

如图，AB是⊙O的直径，BC、CD分别是⊙O的切线，切点分别为B、D，E是BA和CD延长线的交点．
（1）猜想AD与OC的位置关系，并说明理由；
（2）若AD与OC的积为S，⊙O的半径r，试探究S与r的关系；
（3）当r=3，

OD

OE

=

1

3

时，求AD和OC的值．

Answer 1

分析：（1）连接OD，由切线长定理可证得∠COD=∠COB，由圆周角定理得到∠DAB=

1

2

∠BOD=

1

2

（∠COB+∠COD）=∠COB，再由同位角相等，两直线平行得AD∥OC；
（2）连接BD，可证得Rt△ABD∽Rt△OCB，故可得出

AD

OB

=

AB

OC

，再由S=AD•OC=AB•OB=2r•r即可得出结论；
（3）在Rt△OED中，由

OD

OE

=sin∠E=

1

3

可知OE=3OD，OA=OD，AE=2OA，由AD∥OC可知

AD

OC

=

AE

OE

，故AD=

2

3

OC，又因为AD•OC=2r²，由此得到关于AD，OC的方程组，解之即可求出OC，AD的值．

解答：解：（1）猜想：AD∥OC，
证明：连接OD，
∵CB、CD分别切⊙O于B、D两点，
∴CB=CD，∠CDO=∠CBO=90°，
∠OCB=∠OCD，
∴∠COD=∠COB；
又∵∠DAB=

1

2

∠BOD=

1

2

（∠COB+∠COD）
∴∠DAB=∠COB，
∴AD∥OC．

（2）连接BD．
在△ABD和△OCB中，
∵AB是直径，
∴∠ADB=∠OBC=90°，
又∵∠COB=∠BAD
∴Rt△ABD∽Rt△OCB，
∴

AD

OB

=

AB

OC

，S=AD•OC=AB•OB=2r•r=2r²，即S=2r²；

（3）在Rt△OED中，
∵∠ODE=90°，sin∠E=

1

3

，
∴

OD

OE

=sin∠E=

1

3

，
∴OE=3OD．
∵OA=OD，
∴AE=2OA；
∵AD∥OC，
∴知

AD

OC

=

AE

OE

，
∴AD=

2

3

OC，
又∵AD•OC=2r²=18，AD＞0，OC＞0，
∴

AD•OC=18 AD= 2 3 OC

解得OC=3，AD=6．

点评：本题考查的是圆的综合题，涉及到切线长定理，切线的性质，直角三角形的性质，等边对等角相似三角形的判定和性质，正弦的概念，平行线的判定和性质等知识，综合性比较强．