Question

19．已知二次函数y=ax²+bx+c+2的图象如图所示，顶点为（-1，0），下列结论：①abc＞0；②b²-4ac=0；③a＞2；④方程ax²+bc+c=-2的根为x₁=x₂=-1；⑤若点B（-$\frac{1}{4}$，y₁），C（-$\frac{1}{2}$，y₂）为函数图象上的两点，则y₂＜y₁，其中正确的个数是（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 ①首先根据抛物线开口向上，可得a＞0；然后根据对称轴在y轴左边，可得b＞0；最后根据抛物线与y轴的交点在x轴的上方，可得c＞0，据此判断出abc＞0即可．
②根据二次函数y=ax²+bx+c+2的图象与x轴只有一个交点，可得△=0，即b²-4a（c+2）=0，b²-4ac=8a＞0，据此解答即可．
③首先根据对称轴x=-$\frac{b}{2a}$=-1，可得b=2a，然后根据b²-4ac=8a，确定出a的取值范围即可．
④根据顶点为（-1，0），可得方程ax²+bc+c=-2的有两个相等实根，
⑤根据点BC在对称轴右侧，y随x的增大而增大来判断即可．

解答 解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴在y轴左边，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，
∴c+2＞2，
∴c＞0，
∴abc＞0，
∴结论①正确；

∵二次函数y=ax²+bx+c+2的图象与x轴只有一个交点，
∴△=0，
即b²-4a（c+2）=0，
∴b²-4ac=8a＞0，
∴结论②不正确；

∵对称轴x=-$\frac{b}{2a}$=-1，
∴b=2a，
∵b²-4ac=8a，
∴4a²-4ac=8a，
∴a=c+2，
∵c＞0，
∴a＞2，
∴结论③正确；

∵二次函数y=ax²+bx+c+2的顶点为（-1，0），
∴方程ax²+bx+c+2=0的根为x₁=x₂=-1；
∴结论④正确；
∵x＞-1，y随x的增大而增大，
∴y₁＞y₂，
∴结论⑤正确．
综上，可得正确结论的个数是2个：①③④⑤．
故选C．

点评 本题考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．