Question

如图，正方形ABCD的边长为2，M为AD的中点，N在边CD上且∠NMB=∠MBC，MN的延长线与BC的延长线交于点G，则GN的长是

 

．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,正方形的性质

专题：创新题型

分析：过M作MH⊥BC于H，得出四边形AMHB和四边形MDCH是矩形，先求证EF=BM，根据勾股定理求出BM、EF，求出△MBF面积，根据S_△BHM+S_△MHF=

5

2

得出

1

2

×1×2+

1

2

×（1+CF）×2=

5

2

，求出即可．

解答：解：过M作MH⊥BC于H，
则四边形AMHB和四边形MDCH是矩形，
即DM=CH=1，BH=AM=1，MH=CD=2，
∵M为AD的中点，
∴AM=DM=

1

2

AD=

1

2

AB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EBF=∠AMB，
∵EF⊥BM，
∴∠A=∠BEF=90°，
∴△EBF∽△AMB，
∴

EF

BE

=

AB

AM

=

2

1

，
∴EF=2BE=BM，
即BM=EF；
在Rt△ABM中，由勾股定理得：EF=BM=

22+12

=

5

，
S_△BMF=

1

2

BM×EF=

1

2

×

5

×

5

=

5

2

，
∴S_△BHM+S_△MHF=

5

2

，
∴

1

2

×1×2+

1

2

×（1+CF）×2=

5

2

，
∴CF=

1

2

．
∵

CF

FH

=

CN

MH

，
∴CN=

2

3

，
∴根据勾股定理计算得FN=

CF2+CN

2=

5

6

．
故答案为

5

6

．

点评：本题考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，正方形性质等知识点，主要考查学生是否熟练运用性质进行推理和计算，题目综合性比较强，有一定的难度．