Question

6．如图，正方形ABCD的边长为4，点E、F分别是边AD、AB的中点，点P是BC延长线上一点，且EP⊥EB，过点F作FH∥BP，分别交EB、EP于G、H两点，将△EGH绕点E逆时针旋转α（0°＜α＜90°），得到△EMN（M、N分别是G、H的对应点），使直线MN恰好经过点B．
（1）求BP的长；
（2）△EBM与△EPN相似吗？说明理由；
（3）求旋转角α的大小．（只耍求出α的某一个三角函数值即可）

Answer 1

分析 （1）只要证明△ABE∽△EPB，推出$\frac{BE}{PB}$=$\frac{AE}{BE}$，即可解决问题；
（2）结论：△EBM∽△EPN．设BN交PE于O，由FH∥BP，推出∠EHF=∠EPB=∠ENO，由∠EON=∠BOP，推出△EON∽△BOP，推出$\frac{EO}{OB}$=$\frac{ON}{OP}$，即$\frac{EO}{ON}$=$\frac{OB}{OP}$，即可推出△EOB∽△NOP，推出∠EBM=∠EPN，再证明∠BEM=∠PEN，即可解决问题；
（3）∠OEN是旋转角，∠OEN=∠OBP，可知cos∠OEN=cos∠PBN=$\frac{BN}{PB}$，由此想办法求出BN即可；

解答 解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD=4，∠A=∠ABC=90°，
∵∠BEP=90°，
∴∠ABE+∠AEB=90°，∴∠EBP+∠ABE=90°，
∴∠AEB=∠PBE，∵∠A=∠BEP=90°，
∴△ABE∽△EPB，
∴$\frac{BE}{PB}$=$\frac{AE}{BE}$，
∴$\frac{2\sqrt{5}}{PB}$=$\frac{2}{2\sqrt{5}}$，
∴PB=10．

（2）结论：△EBM∽△EPN．
理由：设BN交PE于O，
∵FH∥BP，
∴∠EHF=∠EPB=∠ENO，∵∠EON=∠BOP，
∴△EON∽△BOP，
∴$\frac{EO}{OB}$=$\frac{ON}{OP}$，
∴$\frac{EO}{ON}$=$\frac{OB}{OP}$，∵∠EOB=∠PON，
∴△EOB∽△NOP，
∴∠EBM=∠EPN，
∵∠BEP=∠MEN=90°，
∴∠BEM=∠PEN，
∴△EBN∽△EPN．

（3）作EQ⊥NM于Q，
∵AF=BF，FH∥BC∥AD，
∴EG=BG=$\sqrt{5}$，
∵△EGH∽△AEB，
∴$\frac{EG}{EH}$=$\frac{AE}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
∴EH=2EG=2$\sqrt{5}$，
∴EM=EG=$\sqrt{5}$EN=EH=2$\sqrt{5}$，
∴MN=$\sqrt{（\sqrt{5}）^{2}+（2\sqrt{5}）^{2}}$=5，
∵$\frac{1}{2}$•EM•EN=$\frac{1}{2}$•MN•EQ，
∴EQ=2，
∴EA=EQ，∵BE=BE，
∴△ABE≌△QBE，
∴AB=BQ=4，
∵NQ=$\sqrt{E{N}^{2}-E{Q}^{2}}$=4，
∴BN=BQ+NQ=8，
∵∠OEN是旋转角，∠OEN=∠OBP，
∴cos∠OEN=cos∠PBN=$\frac{BN}{PB}$=$\frac{8}{10}$=$\frac{4}{5}$．

点评 本题考查相似三角形综合题、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会添加常用辅助线，求出EQ的长是关键，属于中考压轴题．