Question

14．如图所示，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，P是直径AB上的一点（不与A，B重合），过点P作AB的垂线交BC的延长线于点Q
（1）在线段PQ上取一点D，使DQ=DC，连接OC，试判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由．
（2）在（1）的条件下，若CD∥AB，OB=3，AP=1，求QP的长．

Answer 1

分析 （1）连结OC，由OC=OB得∠2=∠B，DQ=DC得∠1=∠Q，根据QP⊥PB得到∠Q+∠B=90°，则∠1+∠2=90°，再利用平角的定义得到∠DCO=90°，然后根据切线的判定定理得到CD为⊙O的切线；
（2）连接AC，根据已知条件得到四边形OCDP是矩形，得到OC=PD=3，根据相似三角形的性质列方程即可得到结论．

解答 解：（1）CD与⊙O相切．理由如下：
连结OC，如图，
∵OC=OB，
∴∠2=∠B，
∵DQ=DC，
∴∠1=∠Q，
∵QP⊥PB，
∴∠BPQ=90°，
∴∠Q+∠B=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∴∠DCO=180°-∠1-∠2=90°，
∴OC⊥CD，
而OC为⊙O的半径，
∴CD为⊙O的切线；

（2）连接AC，
∵CD∥AB，
∴∠CDP=∠DCO=∠DPO=90°，
∴四边形OCDP是矩形，
∴PD=OC，
∵OB=3，
∴OC=PD=3，
∵AP=1，OA=OB=3，
∴OP=2，
∴PB=5，
∴OC∥PQ，
∴△BOC∽△BPQ，
∴$\frac{OB}{BP}=\frac{OC}{PQ}$，
∴PQ=5．

点评 本题考查了切线的判定和勾股定理的应用，切线的判定定理是：过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线．也考查等腰三角形的性质以及三角形相似的判定和性质．