Question

6．如图，在等边△ABC中，点D为△ABC内的一点，∠ADB=120°，∠ADC=90°，将△ABD绕点A逆时针旋转60°得△ACE，连接DE．
（1）求证：AD=DE；
（2）求∠DCE的度数；
（3）若BD=1，求AD，CD的长．

Answer 1

分析 （1）利用旋转的性质和等边三角形的性质先判断出△ADE是等边三角形即可；
（2）利用四边形的内角和即可求出结论；
（3）先求出CD，再用勾股定理即可求出结论．

解答 （1）证明：∵将△ABD绕点A逆时针旋转60°得△ACE
∴△ABD≌△ACE，∠BAC=∠DAE，
∴AD=AE，BD=CE，∠AEC=∠ADB=120°，
∵△ABC为等边三角形
∴∠BAC=60°
∴∠DAE=60°
∴△ADE为等边三角形，
∴AD=DE，
（2）∠ADC=90°，∠AEC=120°，∠DAE=60°
∴∠DCE=360°-∠ADC-∠AEC-∠DAE=90°，
（3）∵△ADE为等边三角形
∴∠ADE=60°
∴∠CDE=∠ADC-∠ADE=30°
又∵∠DCE=90°
∴DE=2CE=2BD=2，
∴AD=DE=2
在Rt△DCE中，$DC=\sqrt{D{E^2}-C{E^2}}=\sqrt{{2^2}-{1^2}}=\sqrt{3}$．

点评 此题是旋转的性质，主要考查了等边三角形的性质和判定，勾股定理，解本题的关键是判断出△ADE是等边三角形．