Question

23、如图，已知等边三角形ABC，在AB上取点D，在AC上取点E，使得AD=AE，作等边三角形PCD，QAE和RAB，求证：P、Q、R是等边三角形的三个顶点．

Answer 1

分析：作辅助线连接BP，在易知△ACD≌△CPB的情况下，可证明R，A，Q三点共线，R，B，P三点共线，由此可证明△PQR是等边三角形．

解答：解：连接BP，易证明△ACD≌△CPB，则AD=BP，
又∠RAB+∠BAC+∠QAE=180°，∴R，A，Q三点共线，
又∠CBP=∠CAD=60°，∠RBA+∠ABC+∠CBP=180°，∴R，B，P三点共线，
而AQ=AE=AD=BP，∴RQ=RA+AQ=RB+BP=RP，
由∠R=60°，∴△PQR是等边三角形，
即P、Q、R是等边三角形的三个顶点．

点评：本题考察了等边三角形的判定与性质，难度较大，关键根据题意作出辅助线证明R，A，Q三点共线，R，B，P三点共线．