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如图,已知等边三角形△AEC,以AC为对角线做正方形ABCD(点B在△AEC内,点D在△AEC外).连接EB,过E作EF⊥AB,交AB的延长线为F.请猜测直线BE和直线AC的位置关系,并证明你的猜想.
分析:直线BE与直线AC的位置关系是垂直,理由为:延长EB,延长线交AC与点M,由三角形AEC为等边三角形得到三条边相等,可得出AE=CE,再由四边形ABCD为正方形得到AB=CB,又EB为公共边,利用SSS可得出三角形AEB与三角形CEB全等,根据全等三角形的对应角相等得到一对角相等,可得出EM为顶角平分线,由等腰三角形的三线合一得到EM垂直于AC,即可得证.
解答:直线BE与直线AC的位置关系是垂直,理由为:
证明:延长EB,延长线与AC交于点M,如图所示:

∵△AEC为等边三角形,四边形ABCD为正方形,
∴AE=EC,AB=BC,
在△AEB和△CEB中,
AE=CE
AB=CB
EB=EB

∴△AEB≌△CEB(SSS),
∴∠AEB=∠CEB,即EB是∠AEC的平分线,
又EA=EC,
∴EM⊥AC,
则直线BE与直线AC的位置关系是垂直.
点评:此题考查了等边三角形、正方形的性质,全等三角形的判定与性质,以及等腰三角形的性质,熟练掌握判定与性质是解本题的关键.
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如图,已知等边三角形ABC中,点D,E,F分别为边AB,AC,BC的中点,M为直线BC上一动点,△DMN为等边三角形(点M的位置改变时,△DMN也随之整体移动).
(1)如图1,当点M在点B左侧时,请你判断EN与MF有怎样的数量关系?点F是否在直线NE上?都请直接写出结论,不必证明或说明理由;
(2)如图2,当点M在BC上时,其它条件不变,(1)的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立?若成立,请利用图2证明;若不成立,请说明理由;
(3)若点M在点C右侧时,请你在图3中画出相应的图形,并判断(1)的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立?若成立,请直接写出结论,不必证明或说明理由.
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23、如图,已知等边三角形ABC,在AB上取点D,在AC上取点E,使得AD=AE,作等边三角形PCD,QAE和RAB,求证:P、Q、R是等边三角形的三个顶点.

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精英家教网如图,已知等边三角形△AEC,以AC为对角线做正方形ABCD(点B在△AEC内,点D在△AEC外).连接EB,过E作EF⊥AB,交AB的延长线为F.
(1)猜测直线BE和直线AC的位置关系,并证明你的猜想.
(2)证明:△BEF∽△ABC,并求出相似比.

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如图,已知等边三角形ABC的边长为10,点P、Q分别为边AB、AC上的一个动点,点P从点B出发以1cm/s的速度向点A运动,点Q从点C出发以2cm/s的速度向点A运动,连接PQ,以Q为旋转中心,将线段PQ按逆时针方向旋转60°得线段QD,若点P、Q同时出发,则当运动
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s时,点D恰好落在BC边上.

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