Question

19．抛物线y=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x+2与x轴交于A，B两点（OA＜OB），与y轴交于点C．
（1）求点A，B，C的坐标；
（2）点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时点E也从点O出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动，设点P的运动时间为t秒（0＜t＜2）．
①过点E作x轴的平行线，与BC相交于点D（如图所示），当t为何值时，$\frac{1}{OP}$+$\frac{1}{ED}$的值最小，求出这个最小值并写出此时点E，P的坐标；
②在满足①的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点F，使△EFP为直角三角形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）在抛物线的解析式中，令y=0，令x=0，解方程即可得到结果；
（2）①由题意得：OP=2t，OE=t，通过△CDE∽△CBO得到$\frac{CE}{CO}=\frac{ED}{OB}$，即$\frac{2-t}{2}=\frac{DE}{4}$，求得$\frac{1}{OP}+\frac{1}{ED}$有最小值1，即可求得结果；
②存在，求得抛物线y=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x+2的对称方程为x=3，设F（3，m），当△EFP为直角三角形时，①当∠EPF=90°时，②当∠EFP=90°时，③当∠PEF=90°时，根据勾股定理列方程即可求得结果．

解答 解：（1）在抛物线的解析式中，令y=0，即$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x+2=0，
解得：x₁=2，x₂=4，∵OA＜OB，
∴A（2，0），B（4，0），
在抛物线的解析式中，令x=0，得y=2，
∴C（0，2），

（2）①由题意得：OP=2t，OE=t，
∵DE∥OB，
∴△CDE∽△CBO，
∴$\frac{CE}{CO}=\frac{ED}{OB}$，即$\frac{2-t}{2}=\frac{DE}{4}$，
∴DE=4-2t，
∴$\frac{1}{OP}+\frac{1}{ED}=\frac{1}{2t}+\frac{1}{4-2t}=\frac{1}{{-t}^{2}+2t}=\frac{1}{1{-（t-1）}^{2}}$，
∵0＜t＜2，1-（t-1）²始终为正数，且t=1时，1-（t-1）²有最大值1，
∴t=1时，$\frac{1}{1-（t-1）^{2}}$有最小值1，
即t=1时，$\frac{1}{OP}+\frac{1}{ED}$有最小值1，此时OP=2，OE=1，
∴E（0，1），P（2，0）；
②存在，
∵抛物线y=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x+2的对称轴方程为x=3，
设F（3，m），
∴EP²=5，PF²=（3-2）²+m²，EF²=（m-1）²+3²，
当△EFP为直角三角形时，
①当∠EPF=90°时，
EP²+PF²=EF²，
即5+1+m²=（m-1）²+3²，
解得：m=2，
②当∠EFP=90°时，
EF²+FP²=PE²，
即（m-1）²+3²+（3-2）²+m²=5，
此方程无解，不合题意舍去，
∴当∠EFP=90°时，
这种情况不存在，
③当∠PEF=90°时，
EF²+PE²=PF²，
即（m-1）²+3²+5=（3-2）²+m²，
解得：m=7，
∴F（3，2），（3，7）．

点评 本题考查了根据函数的解析式求点的坐标，相似三角形的判定和性质，求代数式的最值，勾股定理，存在性问题，在求有关存在性问题时要注意分析题意分情况讨论结果．