Question

如图，BD是△ABC的平分线，且AD=BD，CE⊥BD于E，求证：AC=2BE．

Answer 1

考点：三角形中位线定理,等腰三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：延长CE交AB于F，过点E作EG∥AC交AB于G，根据等腰三角形三线合一的性质可得CE=EF，根据等边对等角可得∠A=∠ABD，再根据平行线的性质求出∠A=∠EGB，从而得到∠EGB=∠ABD，根据等角对等边可得BE=EG，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得AC=2EG，然后等量代换即可得证．

解答：证明：如图，延长CE交AB于F，过点E作EG∥AC交AB于G，
∵BD是△ABC的平分线，CE⊥BD，
∴CE=EF，
∵AD=BD，
∴∠A=∠ABD，
∵EG∥AC，
∴∠A=∠EGB，
∴∠EGB=∠ABD，
∴BE=EG，
∵CE=EF，EG∥AC，
∴EG是△ACF的中位线，
∴AC=2EG，
∴AC=2BE．

点评：本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半等腰三角形三线合一的性质，平行线的性质，难点在于作辅助线构造出等腰三角形和以BE的长度相等的线段为中位线的三角形．