Question

如图，平面直角坐标系中，直线AB：y=-

1

3

x+b交y轴于点A（0，1），交x轴于点B．直线x=1交AB于点D，交x轴于点E，P是直线x=1上一动点，且在点D的上方，设P（1，n）．
（1）求直线AB的解析式和点B的坐标；
（2）求△ABP的面积（用含n的代数式表示）；
（3）当S_△ABP=2时，以PB为边在第一象限作等腰直角三角形BPC，求出点C的坐标．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）把A的坐标代入直线AB的解析式，即可求得b的值，然后在解析式中，令y=0，求得x的值，即可求得B的坐标；
（2）过点A作AM⊥PD，垂足为M，求得AM的长，即可求得△BPD和△PAB的面积，二者的和即可求得；
（3）当S_△ABP=2时，

3

2

n-1=2，解得n=2，则∠OBP=45°，然后分A、B、P分别是直角顶点求解．

解答：解：（1）∵y=-

1

3

x+b经过A（0，1），
∴b=1，
∴直线AB的解析式是y=-

1

3

x+1．
当y=0时，0=-

1

3

x+1，解得x=3，
∴点B（3，0）．

（2）过点A作AM⊥PD，垂足为M，则有AM=1，∵x=1时，y=-

1

3

x+1=

2

3

，P在点D的上方，
∴PD=n-

2

3

，S△APD=

1

2

PD•AM=

1

2

×1×(n-

2

3

)=

1

2

n-

1

3

由点B（3，0），可知点B到直线x=1的距离为2，即△BDP的边PD上的高长为2，
∴S△BPD=

1

2

PD×2=n-

2

3

，
∴S△PAB=S△APD+S△BPD=

1

2

n-

1

3

+n-

2

3

=

3

2

n-1；

（3）当S_△ABP=2时，

3

2

n-1=2，解得n=2，
∴点P（1，2）．
∵E（1，0），
∴PE=BE=2，
∴∠EPB=∠EBP=45°．
第1种情况，如图1，∠CPB=90°，BP=PC，
过点C作CN⊥直线x=1于点N．
∵∠CPB=90°，∠EPB=45°，
∴∠NPC=∠EPB=45°．
又∵∠CNP=∠PEB=90°，BP=PC，
∴△CNP≌△BEP，
∴PN=NC=EB=PE=2，
∴NE=NP+PE=2+2=4，
∴C（3，4）．
第2种情况，如图2∠PBC=90°，BP=BC，
过点C作CF⊥x轴于点F．
∵∠PBC=90°，∠EBP=45°，
∴∠CBF=∠PBE=45°．
又∵∠CFB=∠PEB=90°，BC=BP，
∴△CBF≌△PBE．
∴BF=CF=PE=EB=2，
∴OF=OB+BF=3+2=5，
∴C（5，2）．
第3种情况，如图3，∠PCB=90°，CP=EB，
∴∠CPB=∠EBP=45°，
在△PCB和△PEB中，

CP=EB ∠CPB=∠EBP BP=BP

∴△PCB≌△PEB（SAS），
∴PC=CB=PE=EB=2，
∴C（3，2）．
∴以PB为边在第一象限作等腰直角三角形BPC，点C的坐标是（3，4）或（5，2）或（3，2）．

点评：本题是待定系数法求函数的解析式，以及等腰直角三角形的性质的综合应用，正确求得n的值，判断∠OBP=45°是关键．