Question

如图，⊙O中有直径AB、EF和弦BC，且BC和EF交于点D．点D是弦BC的中点，CD=4．DF=8．
（1）求⊙O的半径R及线段AD的长；
（2）求sin∠DAO的值．

Answer 1

解：（1）∵D是BC的中点，EF是直径，
∴CB⊥EF且BD=CD=4．…
∵DF=8，
∴OD=8-R，
∵OB²-OD²=DB²，
∴R²-（8-R）²=4²，
∴R=5．…
连续AC，过D作DH⊥AB交AB于H．
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°．
∵CB=2CD=8，AB=10，
∴AC=6．
∴∠ACD=90°，AC=6，CD=4，
∴AD=2．…

（2）∵Rt△DHB中，DH=DB•sin∠DBH=4×=，…
∴sin∠DAO==．…
分析：（1）由点D是弦BC的中点，EF是直径，根据垂径定理的推论，即可得CB⊥EF且BD=CD=4，然后利用勾股定理，即可求得⊙O的半径R；再连续AC，过D作DH⊥AB交AB于H，由AB是直径，即可得∠ACB=90°，继而可求得线段AD的长；
（2）在Rt△DHB中，由DH=DB•sin∠DBH，可求得DH的长，又由sin∠DAO=，求得答案．
点评：此题考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理以及三角函数等知识．此题难度适中，解题的关键是掌握数形结合思想与方程思想的应用，注意辅助线的作法．