Question

如图，⊙O中有直径AB、EF和弦BC，且BC⊥EF于点D，CB=DF=8．
（1）求⊙O的半径；
（2）求tan∠DAO的值．

Answer 1

分析：（1）根据垂径定理求出CD、BD，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可；
（2）过D作DG⊥AB于G，求出AC，求出AD，根据相似求出DG，根据勾股定理求出AG，即可求出答案．

解答：解：（1）设⊙O的半径是R，
∵EF⊥BC，EF过O，
∴BD=CD=

1

2

BC=4，
在Rt△ODB中，由勾股定理得：BO²=OD²+BD²，
R²=（8-R）²+4²，
解得：R=5，
即⊙O的半径是5．

（2）
过D作DG⊥AB于G，连接AC，
∵AB是直径，
∴∠C=90°，
在Rt△ACB中，BC=8，AB=10，由勾股定理得：AC=6，
∵DG⊥AB，
∴∠C=∠DGB=90°
∵∠DBG=∠CBA，
∴△BGD∽△BCA，
∴

BD

AB

=

DG

AC

，
∴

4

10

=

DG

6

，
∴DG=2.4，
在Rt△ACD中，CD=4，AC=6，由勾股定理得：AD=2

13

，
在Rt△ADE中，AD=2

13

，DG=2.4，由勾股定理得：AG=

34

5

，
tan∠DAO=

DG

AG

=

6

17

．

点评：本题考查了垂径定理，勾股定理，相似三角形的性质和判定，勾股定理的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力．