Question

如图，由点O出发的13条射线恰好等分圆周，图中的三角形都是直角三角形，若OA₁=64，则A₁A₇的长为

 

．

Answer 1

考点：勾股定理

专题：规律型

分析：根据题意求得直角三角形中的两个锐角的度数，然后通过含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求得斜边与60度角所对的直角边的数量关系，从而得解．

解答：解：如图，∵由点O出发的13条射线恰好等分圆周，
∴∠A₁OA₂=∠A₂OA₃=…=∠A₁₂OA₁₃=30°．
又∵图中的三角形都是直角三角形，
∴在直角△A₁OA₂中，∠A₁A₂=

1

2

OA₁，
则由勾股定理知，OA₂=

OA12-A1A22

=

3

2

OA₁．
同理，OA₃=

3

2

OA₂=

3

2

•

3

2

OA₁=（

3

2

）²OA₁．
OA₄=

3

2

OA₃=

3

2

•

3

2

OA₂=（

3

2

）³OA₁．
…
OA₇=

3

2

OA₆=

3

2

•

3

2

OA₅=（

3

2

）⁶OA₁．
∵OA₁=64，
∴OA₇=（

3

2

）⁶×64=27，
∴A₁A₇=OA₁+OA₇=64+27=91．
故答案是：91．

点评：本题考查了勾股定理．根据已知条件求得直角三角形的两个锐角的度数是解题的关键，找出线段间的数量关系规律是解题的难点．