Question

如图，已知等边△ABC中，AE=CD且AF=

1

2

BF，求证：BF⊥CF．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质

专题：证明题

分析：取BF的中点，由条件构造△ABE≌△CAD，进一步证明△ABM≌△CAF，从而得出∠CFD=30°，∠BFD=60°，可证得结论．

解答：
证明：
取BF中点M，连接AM，∴BM=FM=FA，
∵AB=AC，
∴∠BAC=∠ACD，
在△ABE和△CAD中

AB=AC ∠BAC=∠ACD AE=CD

∴△ABE≌△CAD（SAS），
∴∠CAD=∠ABE，
∵∠CAD+∠BAD=60°，
∴∠ABE+∠BAD=60°，
∴∠BFD=60°，
∴∠AMF=∠MAF=30°，∠AMB=150°，
在△ABM和△CAF中

BM=AF ∠ABE=∠CAF AB=AC

∴△ABM≌△CAF（SAS），
∴∠AFC=∠AMB=150°，
∴∠CFD=30°，∠BFD=60°
∴∠BFC=90°，
∴BF⊥CF．

点评：本题主要考查三角形全等的判定和性质及等边三角形的性质运用，借助条件构造三角形全等是解题的关键．