Question

在Rt△ABC中，DE垂直平分斜边AB于点D，且点E为AB的下方，DE=

1

2

AB．
（1）求证：∠ACE=45°；
（2）若DE⊥AB，且E在AD上方，其他条件不变，∠ACE=45°还成立吗，请证明．

Answer 1

考点：圆周角定理

专题：

分析：（1）根据AD=BD=CD=ED，确定A、E、B、C四点共圆，D为圆的圆心，根据圆周角、圆心角的性质即可求得结论；
（2）同理先确定A、E、B、C四点共圆，D为圆的圆心，根据圆周角的性质即可求得∠ACE=135°．

解答：（1）证明：如图1，连接CD，
∵在Rt△ABC中，AD=DB，
∴CD=

1

2

AB，
∵DE=

1

2

AB．
∴A、E、B、C四点共圆，D为圆的圆心，
∵

AE

所对的圆周角是∠ACE，所对的圆心角是∠ADE，
∴2∠ACE=∠ADE=90°，
∴∠ACE=45°．
（2）不成立，
证明：如图2，，连接CD，
∵在Rt△ABC中，AD=DB，
∴CD=

1

2

AB，
∵DE=

1

2

AB．
∴A、E、B、C四点共圆，D为圆的圆心，
∵

AE

所对的圆周角是∠ACE，DE⊥AB，
∴

AE

为90°，
∴

ABE

为270°，
∴∠ACE=135°．

点评：本题考查了圆周角的性质定理，作出辅助线，证得四点到D的距离相等是本题的关键．