Question

已知a，b，c为三角形三边，比较a²+b²-c²和4a²b²的大小．

Answer 1

考点：因式分解的应用,三角形三边关系

专题：

分析：根据平方差公式，可分解因式得[（a+b+c）（a+b-c）][（a-b+c）（a-b-c）]，根据三角形两边之和大于第三边，可得[（a+b+c）（a+b-c）][（a-b+c）（a-b-c）]＜0，根据不等式的性质，可得答案．

解答：解：（a²+b²-c²）-（2ab）²=（a²+b²-c²+2ab）（a²+b²-c²-2ab）
=[（a+b）²-c²][（a-b）²-c²]
=[（a+b+c）（a+b-c）][（a-b+c）（a-b-c）]，
由三角形两边之和大于第三边，得
a+b+c＞，a+b-c＞0，a-b+c＞0，a-b-c＜0．
原式=[（a+b+c）（a+b-c）][（a-b+c）（a-b-c）]＜0，
即（a²+b²-c²）²＜4a²b²．
开方，得
a²+b²-c²＜2ab．
4a²b²-2ab=2ab（2ab-1）＞0，
4a²b²＞2ab＞a²+b²-c²．
∴a²+b²-c²＜4a²b²．

点评：本题考查了因式分解的应用，利用了平方差公式，完全平方公式，不等式的性质，因式分解是解题关键．