Question

如图，已知AB、AC分别为⊙O的直径和弦，D为

AC

的中点，DE⊥AB交⊙O于点E，交AC于点F．
（1）求证：∠DFC=2∠DCF；
（2）已知AH=1，BH=4，求FC的长．

Answer 1

考点：圆周角定理,勾股定理,垂径定理,圆心角、弧、弦的关系

专题：

分析：（1）连接OD与AC相交于点G，判断出OD⊥AC，根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍可得∠AOD=2∠DCF，再根据同角的余角相等求出∠AFH=∠AOD，然后求出∠DCF=∠AOD，即可得证；
（2）利用垂径定理求出DH，再根据等腰三角形两腰上的高相等可得AG=DH，然后求出△AFH和△AOG相似，再利用相似三角形对应边成比例列式求出AF，再根据FC=2AG-AF计算即可得解．

解答：（1）证明：连接OD与AC相交于点G，
则∠AOD=2∠DCF，
∵D为

AC

的中点，
∴OD⊥AC，
又∵DE⊥AB，
∴∠A+∠AFH=∠A+∠AOG=90°，
∴∠AFH=∠AOD，
∵∠DFC=∠AFH，
∴∠DCF=∠AOD，
∴∠DFC=2∠DCF；

（2）解：∵DE⊥AB，AH=1，BH=4，
∴DH²=AH•BH=1×4=4，
∴DH=2，
∵OD=OA，DE⊥OA，AG⊥OD，
∴AG=DH=2，
∵AH=1，BH=4，
∴AB=1+4=5，
∴AO=

1

2

AB=2.5，
∵DE⊥OA，AC⊥OD，
∴△AFH∽△AOG，
∴

AF

OA

=

AH

AG

，
即

AF

2.5

=

1

2

，
解得AF=

5

4

，
∴FC=2AG-AF=2×2-

5

4

=

11

4

．

点评：本题考查了圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，相似三角形的判定与性质，难点在于（2）利用相似三角形对应边成比例求出AF．