Question

在四边形ABCD中，AD∥BC，BD是∠ABC的平分线，且CD⊥BD，AD=4，CD=2．
（1）求sin∠ABD；
（2）求S_{四边形ABCD}．

Answer 1

考点：解直角三角形

专题：计算题

分析：（1）延长CD，交BA的延长线于E，如图，由于BD是∠ABC的平分线，CD⊥BD，根据等腰三角形的判定方法得到△BCE为等腰三角形，则CD=ED=2，∠C=∠E，BE=BC，再判断AD为△EBC的中位线得到BC=2AD=8，即BE=8，然后在Rt△BDE中根据正弦的定义求解；
（2）作DF⊥BC于F，如图，在Rt△BDC中，利用勾股定理计算出BD=2

15

，再利用面积法计算出DF，然后根据梯形的面积公式求解．

解答：解：（1）延长CD，交BA的延长线于E，如图，
∵BD是∠ABC的平分线，CD⊥BD，
∴△BCE为等腰三角形，CD=ED=2，
∴∠C=∠E，BE=BC，
∵AD∥BC，
∴AD为△EBC的中位线，
∴BC=2AD=8，
∴BE=8，
在Rt△BDE中，sin∠EBD=

DE

AE

=

2

8

=

1

4

；
即sin∠ABD=

1

4

；
（2）作DF⊥BC于F，如图，
在Rt△BDC中，
∵CD=2，BC=8，
∴BD=

BC2-CD2

=2

15

，
∵

1

2

BD•CD=

1

2

BC•DF，
∴DF=

2×2 15

8

=

15

2

，
∴S_{四边形ABCD}=

1

2

•（4+8）•

15

2

=3

15

．

点评：本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了等腰三角形的判定与性质．