Question

如图已知，在△ABC中，∠A=60°，BD是∠ABC的平分线．
（1）求∠ABD+

1

2

∠ACB的度数；
（2）P为射线BD上一动点，当点P在线段BD上时，连接PC，请猜想PB+PC与AB+AC的大小关系，并证明你的猜想；
（3）当点P在射线BD上运动时，是否存在一点P，使∠BPC=30°？若存在，请比较∠ACP和∠ABD的度数的大小关系，若不存在请说明理由．

Answer 1

考点：三角形内角和定理,三角形的外角性质

专题：探究型

分析：（1）由角平分线的定义可得∠ABD+

1

2

∠ACB=

1

2

∠ABC+

1

2

∠ACB，再利用三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB即可；
（2）连接PC，在△ABD和△PDC中分别利用三角形三边之间的关系即可得出结论；
（3）在△ABD和△CPD中分别利用内角和定理，可得出∠ABD+∠A=∠ACP+∠BPC，再把角的度数代入可求得结论．

解答：解：
（1）∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=

1

2

∠ABC，
∴∠ABD+

1

2

∠ACB=

1

2

∠ABC+

1

2

∠ACB=

1

2

（∠ABC+∠ACB）=

1

2

（180°-∠A）=

1

2

×120°=60°；
（2）AB+AC＞PB+PC，证明如下：
如图，连接PC，

在△ABD中，有AB+AD＞BD，即AB+AD＞PB+PD，
在△PDC中，有PD+DC＞PC，
∴AB+AD+PD+DC＞PB+PD+PC，
∴AB+AD+DC＞PB+PC，
即AB+AC＞PB+PC；
（3）存在，∠ABD＜∠ACP，理由如下：
∠BPC=30°，则点P的BD的延长线上，
则∠ABD+∠A+∠ADB=∠ACP+∠BPC+∠CDP=180°，
∵∠ADB=∠CDP，
∴∠ABD+∠A=∠ACP+∠BPC，
即∠ABD+60°=∠ACP+30°，
∴∠ABD+30°=∠ACP，
∴∠ABD＜∠ACP．

点评：本题主要考查三角形内角和定理及角平分线、三角形的三边关系，在复杂图形中能找到所需要的三角形中找到角之间的关系是解题的关键．