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    （2007•十堰）已知矩形ABCD中，AB=2，AD=4，以AB的垂直平分线为x轴，AB所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系（如图）．
    （1）写出A，B，C，D及AD的中点E的坐标；
    （2）求以E为顶点、对称轴平行于y轴，并且经过点B，C的抛物线的解析式；
    （3）求对角线BD与上述抛物线除点B以外的另一交点P的坐标；
    （4）△PEB的面积S△PEB与△PBC的面积S△PBC具有怎样的关系？证明你的结论．

    【答案】分析：（1）已知AB=2就可以得到A，B的坐标，C、D与A、B的纵坐标分别相等，而已知AD=4就可以求出C、D、E的横坐标．
    （2）已知抛物线的顶点，就可以设函数的一般形式，设顶点式，然后把C点的坐标，就可以求出函数的解析式．
    （3）求对角线BD与上述抛物线除点B以外的另一交点P的坐标，可以先求出直线BD的解析式，然后解由BD以及抛物线的解析式组成的方程组．
    （4）△PBC中BC已知，BC边上的高就是P点的纵坐标的绝对值，因而面积可以很容易得到．
    过P，E分别作PP′⊥BC，EE′⊥BC，垂足分别为P′，E′，设抛物线与x轴左边的交点是F，△PEB的面积就是△EFP与△EFB的面积的和．
    解答：解：（1）A（0，1），B（0，-1），C（4，-1），D（4，1），E（2，1）．

    （2）设抛物线的解析式为：y=a（x-2）2+1
    ∵抛物线经过点B（0，-1）
    ∴a（0-2）2+1=-1
    解得a=-∴抛物线的解析式为：y=-（x-2）2+1
    经验证，抛物线y=-（x-2）2+1经过点C（4，-1）

    （3）直线BD的解析式为：y=x-1
    解方程组
    得点P的坐标：P（3，）．

    （4）S△PEB=S△PBC=×4×=3
    过P，E分别作PP'⊥BC，EE'⊥BC，垂足分别为P'，E'
    S△PEB=×2×2+×（+2）×1-×3×
    ∴S△PEB=S△PBC
    点评：本题主要考查了待定系数法求函数的解析式，以及函数交点坐标的求法，求三角形的面积利用数形结合比较容易理解．
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