Question

11．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，点B₁，C₁的坐标分别为（1，0），（1，1）．将△OB₁C₁绕原点O逆时针旋转90°，再将其各边都扩大为原来的m倍，使OB₂=OC₁，得到△OB₂C₂；将△OB₂C₂绕原点O逆时针旋转90°，再将其各边都扩大为原来的m倍，使OB₃=OC₂，得到△OB₃C₃．如此下去，得到△OB_nC_n． 
（1）m的值为$\sqrt{2}$；
（2）在△OB₂₀₁₆C₂₀₁₆中，点C₂₀₁₆的纵坐标为-$\sqrt{2}$²⁰¹⁵．

Answer 1

分析 （1）易得OB₂=mOB₁=OC₁，根据最初的三角形中OB₁，OC₁的关系可得m的值；
（2）可得旋转4次后，正好旋转一周，那么可得点C₂₀₁₆的坐标跟C₁的坐标在一条射线上，且在第四象限，即可得出结果．

解答 解：（1）在△OB₁C₁中，
∵OB₁=1，B₁C₁=1，∠OB₁ C₁=90°，
∴∠C₁OB₁=45°，OC₁=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∵OB₂=mOB₁，OB₂=OC₁，
∴m=$\sqrt{2}$．
故答案为：$\sqrt{2}$；
（2）∵每一次的旋转角是90°，
∴旋转4次后，正好旋转一周，
∴2016÷4=504，
∴点C₂₀₁₆跟C₁的在一条射线上，且在第四象限，
∵第2次旋转后，各边长是原来的$\sqrt{2}$倍，第3次旋转后，各边长是原来的$\sqrt{2}$²倍，
∴点C₂₀₁₆的纵坐标为-$\sqrt{2}$²⁰¹⁵．
故答案为：-${\sqrt{2}}^{2015}$．

点评 本题考查了坐标与图形的变化-旋转，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，求出m的值和找出规律是解题的关键．