Question

如图1，已知四边形OABC中的三个顶点坐标为O（0，0），A（0，n），C（m，0）．动点P从点O出发依次沿线段OA，AB，BC向点C移动，设移动路程为z，△OPC的面积S随着z的变化而变化的图象如图2所示．m，n是常数，m＞1，n＞0．
（1）请你确定n的值和点B的坐标；
（2）当动点P是经过点O，C的抛物线y=ax²+bx+c的顶点，且在双曲线y=

11

5x

上时，求这时四边形OABC的面积．

Answer 1

分析：（1）本题要根据图2的分段函数进行求解．当0＜z≤2时，P在OA上运动，因此S=

1

2

OC•z=

1

2

mz．当2＜z≤3时，P在AB上运动，因此S=

1

2

OC•OA=

1

2

mn．由此可得出当P从A运动到B时，S=

1

2

mn=m，因此n=2．而z的值是由2逐渐增大到3因此AB=1，因此B点的坐标应该是（1，2）．
（2）求四边形OABC的面积，关键是确定m的值．（由于P不可能与O，D重合）可分三种情况进行讨论：
①当P在OA上时，此时P，O，C不可能构成抛物线．因此这种情况不成立．
②当P在AB上时，可先根据O，C的坐标来列出抛物线的解析式．此时P的纵坐标为2，然后可根据抛物线的解析式表示出P的横坐标，然后将得出的P的坐标代入双曲线中即可得出m的值．
③当P在BC上时，也要先得出P点的纵坐标，具体思路是过B，P作x轴的垂线，通过相似三角形来求出P点的纵坐标，然后按①的方法求出m的值．
综合上述的情况即可得出m的值，也就能确定OC的长，即可求出梯形OABC的面积．

解答：解：（1）从图1中可知，当P从O向A运动时，△POC的面积S=

1

2

mz，z由0逐步增大到2，则S由0逐步增大到m，
故OA=2，n=2．
同理，AB=1，故点B的坐标是（1，2）．

（2）∵抛物线y=ax²+bx+c经过点O（0，0），C（m，0）
∴c=0，b=-am，
∴抛物线为y=ax²-amx，顶点坐标P为（

m

2

，-

1

4

am²）．
∵m＞1，
∴

m

2

＞0，且

m

2

≠m，
∴P不在边OA上且不与C重合．
∵P在双曲线y=

11

5x

上，
∴

m

2

×（-

1

4

am²）=

11

5

=-

88

5m3

．
①当1＜m≤2时，

1

2

＜

m

2

≤1，如图2，分别过B，P作x轴的垂线，
M，N为垂足，此时点P在线段AB上，且纵坐标为2，
∴-

1

4

am²=2，即a=-

8

m2

．
又∵a=-

88

5m3

，
∴-

88

5m3

=-

8

m2

，m=

11

5

＞2，而1＜m≤2，不合题意，舍去．
②当m≥2时，

m

2

＞1，如图3，分别过B，P作x轴的垂线，M，N为垂足，ON＞OM，
此时点P在线段CB上，易证Rt△BMC∽Rt△PNC，
∴BM：PN=MC：NC，即2：PN=（m-1）：

m

2

，
∴PN=

m

m-1

而P的纵坐标为-

1

4

am²，
∴

m

m-1

=-

1

4

am²，即a=

4

m(1-m)

．
而a=-

88

5m3

，
∴-

88

5m3

=

4

m(1-m)

化简得：5m²-22m+22=0．
解得：m=

11± 11

5

，
但m≥2，所以m=

11- 11

5

舍去，
取m=

11+ 11

5

．
由以上，这时四边形OABC的面积为：

1

2

（AB+OC）×OA=

1

2

（1+m）×2=

16+ 11

5

．

点评：本题着重考查了二次函数以及反比例函数的相关知识、三角形相似等知识点，综合性强，能力要求较高．考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．