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    （2012•太原一模）如图1，已知四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点E，以点E为顶点作正方形EFGH，使点A、D分别在EH和EF上，连接BH、AF．
    （1）判断并说明BH和AF的数量关系；
    （2）将正方形EFGH绕点E顺时针方向旋转θ（0°≤θ≤360°），设AB=a，EH=b，且a＜2b．
    ①如图2，连接AG，设AG=x，请直接写出x的取值范围；当x取最大值时，直接写出θ的值；
    ②如果四边形ABDH是平行四边形，请在备用图中补全图形，并求a与b的数量关系．
    分析：（1）根据正方形的对角线互相垂直平分可得AE=BE，∠BEH=∠AEF=90°，然后利用“边角边”证明△BEH和△AEF全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；
    （2）①连接EG，根据正方形的性质求出AE、EG，再根据三角形任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边可知A、E、G三点共线，且AE+AG=EG时，AG最小，AE+EG=AG时，AG最大，然后求解即可；
    ②根据平行四边形的对边平行且相等可得AH∥BD，AH=BD，再根据两直线平行，内错角相等求出∠EAH=90°，再根据正方形的性质求出AE、BD，然后在Rt△AEH中，利用勾股定理列式整理即可得解．
    解答：解：（1）在正方形ABCD中，AE=BE，∠BEH=∠AEF=90°，
    ∵四边形EFGH是正方形，
    ∴EF=EH，
    ∵在△BEH和△AEF中，
    AE=BE
    ∠BEH=∠AEF=90°
    EF=EH
    ，
    ∴△BEH≌△AEF（SAS），
    ∴BH=AF；

    （2）①连接EG，
    ∵AB=a，EH=b，
    ∴AE=
    1
    2
    AC=
    		2
    2
    a，EG=
    		2
    b，
    根据三角形的三边关系，AG＞EG-AE，AG＜AE+EG，
    ∴当AG=EG-AE时，AG最小，AG=AE+EG时，AG最大，
    		2
    b-
    		2
    2
    a≤x≤
    		2
    b+
    		2
    2
    a；
    x取得最大值时，θ=135°；
    ②如图，∵四边形ABDH是平行四边形，
    ∴AH∥BD，AH=BD，
    ∴∠EAH=∠AEB=90°，
    在Rt△AEH中，AE2+AH2=EH2，
    ∴（
    		2
    2
    a）2+（
    		2
    a）2=b2，
    整理得，a=
    		10
    5
    b．
    点评：本题主要考查了正方形性质，全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，旋转的性质，平行四边形的对边平行且相等的性质，（2）①考虑用不变的量表示变化的量是解题的关键．
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    1
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    1
    1
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