Question

如图：已知△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，PQ∥AB，P点在AC上（与A、C不重合），Q在BC上．
（1）当△PQC的周长是△ABC周长的一半时，求CP的长．
（2）当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长．
（3）试问：在AB上是否存在点M，使得△PQM为等腰直角三角形？若不存在，请简要说明理由；若存在，请求出PQ的长．

Answer 1

解：（1）∵PQ∥AB，
∴△CPQ∽△CAB，
∴CP：CA=C_△CPQ：C_△CAB，
∵AB=5，BC=3，AC=4，
∴C_△CAB=12，
∵△PQC的周长是△ABC周长的一半，
∴CP：4=1：2，
∴CP=2，

（2）∵△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等，
∴CQ+CP=AP+BQ+AB①，
∵AB=5，BC=3，AC=4，
∴AP+PC=4，CQ+BQ=3②，
∴把②变形代入①得，PC+CQ=6，
∵PQ∥AB，
∴△CPQ∽△CAB，
∴PC：AC=CQ：BC，
∵AC=4，BC=3，
∴，
∴，
∴PC=，

（3）存在，理由为：
（i）作PM垂直PQ交AB于点M，作CE⊥AB，
∵PQ∥AB，
∴CE⊥PQ于点D，
∴PM=DE，
若PQ=PM，则：△PQM为等腰直角三角形，
∵AB=5，BC=3，AC=4，
∴CA⊥CB，
设：PQ=PM=x，
∵CE×AB=AC×BC，
∵AB=5，BC=3，AC=4，
∴CE=，
∵CD：CE=PQ：AB，
（-x）：=x：5，
∴x=，
∴当PQ=时，AB上存在一点M使得△PQM为等腰直角三角形．

（ii）取PQ的中点N，作NM⊥AB于M，作CF⊥AB于F，交PQ于E，
则EF=MN，
则PM=QM，当MN=时，△PQM为等腰直角三角形．
由△CPQ∽△CAB知，
=，AB×（CF-）=CF×PQ，
5×（-）=×PQ，
PQ=，
综上，PQ=或时，AB上存在一点M使得△PQM为等腰直角三角形．
分析：（1）根据相似三角形的周长等于相似比，即可推出结论；
（2）根据题意即可推出PC+CQ=6，通过求证△CPQ∽△CAB，推出，最后经过等量代换即可推出结论；
（3）通过作PM垂直PQ交AB于点M，作CE⊥AB，根据已知推出CE=，然后，提出假设PQ=PM=x，通过求证CE•AB=AC•BC和CD：CE=PQ：AB，即可推出x的值，说明假设成立，x的值即为PQ的长度，再取PQ的中点N，作NM垂直AB于M，则PM=QM，当MN=时，△PQM为等腰直角三角形．由△CPQ∽△CAB得出PQ的长．
点评：本题主要考查勾股定理逆定理、相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定，关键在于根据已知和已证推出相似三角形，根据相似比推出结论即可．