Question

4．（1）已知一个角的余角是这个角的补角的$\frac{1}{5}$，求这个角的度数以及这个角的余角和补角．
（2）已知线段AB长为9，点C是线段AB上一点，满足AC=$\frac{1}{2}$CB，点D是直线AB上一点，满足BD=$\frac{1}{2}$AC，①求出线段AC的长；②求出线段CD的长．

Answer 1

分析 （1）设这个角的度数为x，则它的余角为90°-x，补角为180°-x，再根据题意列出方程，求出x的值，进一步求解即可．
（2）①由AB的长，即AC为BC的一半求出AC与BC的长；
②由BD为AC一半求出BD的长，由BC-BD及BD+BC即可求出CD的长．

解答 解：（1）设这个角的度数为x，则它的余角为90°-x，补角为180°-x，
依题意得：90°-x=$\frac{1}{5}$（180°-x），
解得x=67.5°，
90°-x=22.5°，
180°-x=112.5°．
故这个角的度数是67.5°，这个角的余角是22.5°，补角是112.5°．
（2）如图1，2，分两种情况讨论：
①由题意得AC=3，BC=6，BD=1.5，
②由图1得CD=BC-BD=4.5，
由图2得CD=BC+BD=7.5．
故线段CD的长为4.5或7.5．

点评 本题考查的是余角及补角的定义，两点间的距离，能根据题意列出关于x的方程，熟悉线段的加减运算是解答此题的关键．