Question

14．如图，一艘海轮在A点时测得灯塔C在它的北偏东45°方向上，它沿正东方向航行80海里后到达B处．此时灯塔C在它的北偏西60°方向上．
（1）求海轮在航行过程中与灯塔C的最短距离：（结果保留根号）
（2）求海轮在B处时与灯塔C的距离．（结果保留根号）．

Answer 1

分析 （1）过C作AB的垂线，设垂足为D，则CD的长为海轮在航行过程中与灯塔C的最短距离；
（2）在Rt△BCD中，根据60°角的余弦值即可求出海轮在B处时与灯塔C的距离．

解答 解：（1）过C作AB的垂线，垂足为点D，
根据题意可得：∠1=∠2=45°，∠3=∠4=60°，
设CD的长为x海里，
在Rt△ACD中，tan45°=$\frac{AD}{CD}$，则AD=CD=x，
在Rt△BCD中，tan60°=$\frac{BD}{CD}$，则BD=$\sqrt{3}$x，
∵AB=80，
∴AD+BD=80，
∴x+$\sqrt{3}$x=80，
解得：x=40$\sqrt{3}$-40，
答：海轮在航行过程中与灯塔C的最短距离是（40$\sqrt{3}$-40）海里；

（2）在Rt△BCD中，cos60°=$\frac{CD}{BC}$，
∴BC=2CD=80$\sqrt{3}$-80（海里），
答：海轮在B处时与灯塔C的距离为（80$\sqrt{3}$-80）海里．

点评 本题主要考查解直角三角形的应用-方向角问题，解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．