Question

请阅读下面材料，完成下列问题：
（1）如图1，在⊙O中，AB是直径，CD⊥AB于点E，AE=a，EB=b．计算CE的长度（用a、b的代数式表示）；
（2）如图2，请你在边长分别为a、b（a＞b）的矩形ABCD的边AD上找一点M，使得线段，保留作图痕迹；
（3）请你利用（2）的结论，在图3中对矩形ABCD进行拆分并拼接为一个与其面积相等的正方形．要求：画出拼成的正方形，并用相同的数字表明拼接前与拼接后的同一图形．

Answer 1

解：（1）如图1，连接AC、BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACE+∠ECB=90°，
又∴CD⊥AB于点E，
∴∠AEC=90°，
∴∠ACE+∠A=90°，
∴∠A=∠ECB，
∴△ACE∽△CBE，
∴，
∴CE²=AE•BE=ab，
∵CE为线段，
∴；

（2）如图2，延长BC，使得CE=CD．
以BE为直径画弧，交CD的延长线于点P．
以C为圆心，以CP为半径画弧，交AD于点M．点M即为所求．

（3）如图3．以C为圆心，CM长为半径画圆，过B点作FB∥MC，
做MN⊥FB，CQ⊥FB，
正方形MNQC为所求．

分析：（1）如图1，连接AC、BC，利用AB是⊙O的直径，CD⊥AB于点E，求证△ACE∽△CBE，然后利用相似三角形对应边成比例即可求得
（2）如图2，延长BC，使得CE=CD．以BE为直径画弧，以C为圆心，以CP为半径画弧即可．
（3）如图3，利用了（2）的结论，在图3中对矩形ABCD进行拆分并拼接为一个与其面积相等的正方形
点评：此题考查学生对相似三角形的判定与性质和垂径定理的理解和掌握，第（1）比较容易，（2）（3）作图对学生来说是个难点，因此此题属于难题．