Question

如图，AB是⊙O的直径，AC、BC是弦，D是的中点，DE⊥AB于E，交BC于F．已知AC=6，⊙O的半径是5．
（1）求证：BC=2DE；
（2）求tan∠CBD的值．

Answer 1

解：（1）方法一：连接OD交BC于点H，
∵D是的中点，
∴∠CBD=∠ABC，
在△OBH与△ODE中，
，
∴△OBH≌△ODE，
∴∠OHB=∠C=90°，
∴OH是△ABC的中位线，
∴DE=BH=BC，
∴BC=2DE；
方法二：先设DE交⊙O于点G，==，BC=DG=2DE．

（2）方法一：∵由（1）可知OH为△ABC的中位线，
∴OH=AC=3，OD=OB=5，DH=OD-OH=2，
∴BH==4，
∴DE=4，
∴tan∠CBD===．
方法二：连接AD，DE²=AE•BE，设AE=x＞5，DE²=x•（10-x），
∵DE=BC=4，
∴4²=x•（10-x），解得x=8或x=2（舍去），
∴tan∠CBD=tan∠DAE===．
分析：（1）连接OD交BC于点H，由全等三角形的判定定理得出△OBH≌△ODE，故∠OHB=∠C=90°，OH是△ABC的中位线，由中位线的性质即可得出结论；
（2）由（1）可知OH为△ABC的中位线，故OH=AC=3，OD=OB=5，DH=OD-OH=2，由勾股定理求出DE的长，根据锐角三角函数的定义即可求出结论．
点评：本题考查的是垂径定理、勾股定理、三角形中位线的定理及锐角三角函数的定义，根据题意作出辅助线．构造出全等三角形是解答此题的关键．