【题目】已知关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣k2+k+1=0.
(1)证明:原方程有两个不相等的实数根;
(2)若原方程的两实根分别为x1,x2,且(x1﹣x2+2)(x1﹣x2﹣2)=﹣3,求k的值.
【答案】(1)见解析;(2)k的值为2.
【解析】
(1)计算判别式得到△=(k-2)2+1,利用非负数的性质得到△>0,从而得到结论;
(2)利用根与系数的关系得到x1+x2=3、x1x2=,再变形已知条件得到(x1+x2)2-4x1x2-1=0,即,然后解关于k的不等式即可.
(1)证明:∵△=(﹣3)2﹣4(﹣k2+k+1)
=k2﹣4k+5
=(k﹣2)2+1,
∵(k﹣2)2≥0,
∴(k﹣2)2+1>0,即△>0,
∴无论k取何值,该方程总有两个不相等的实数根;
(2)解:根据题意得x1+x2=3、x1x2=﹣k2+k+1,
∵(x1﹣x2+2)(x1﹣x2﹣2)=﹣3,
∴(x1﹣x2)2﹣4=﹣3,
(x1+x2)2﹣4x1x2﹣1=0,
即32﹣4(﹣k2+k+1)﹣1=0,
整理得k2﹣4k+4=0,解得k1=k2=2,
即k的值为2.
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【题目】飞机着陆后滑行的距离y(单位:m)关于滑行时间以(单位:)的函数解析式是y=6t﹣t2.在飞机着陆滑行中,滑行最后的150m所用的时间是( )s.
A.10B.20C.30D.10或30
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【题目】如图平面直角坐标系中,直线y=kx+1与x轴交于点A点,与y轴交于B点,P(a,b)是这条直线上一点,且a、b(a<b)是方程x2﹣6x+8=0的两根.Q是x轴上一动点,N是坐标平面内一点,以点P、B、Q、N四点为顶点的四边形恰好是矩形,则点N的坐标为_____或_____.
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【题目】如图,抛物线的顶点为B(1,3),与轴的交点A在点 (2,0)和(3,0)之间.以下结论:
①;②;③;④≥;⑤若,且,
则.其中正确的结论有( )
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
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【题目】已知二次函数的解析式是y=x2﹣2x﹣3.
(1)求该函数图象与x轴,y轴的交点坐标以及它的顶点坐标:
(2)根据(1)的结果在坐标系中利用描点法画出此抛物线.
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【题目】在菱形ABCD中,的两边分别与AB,BC交于点E,F,与对角线AC交于点G,H,已知,.
(1)如图1,当,时,
①求证:;
②求线段GH的长;
(2)如图2,当绕点D旋转时,线段AG,GH,HC的长度都在变化.设线段,,,试探究p与mn的等量关系,并说明理由.
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