Question

4．如图，正方形ABCD的边长是7$\sqrt{2}$，点P是对角线AC上的一个点（不与A，C两点重合），连接BP，并将线段BP绕点B顺时针旋转90°得到线段BP′，连接PP′，CP′，PP′与BC相交于点E．
（1）求证：△BAP≌△BCP′；
（2）探究：线段PA，PC，PB之间满足什么数量关系，请写出结论并证明；
（3）若PA＜PC，当PB=5$\sqrt{2}$时，求BE的长．

Answer 1

分析 （1）证出∠ABP=∠CBP'，由SAS证明△BAP≌△BCP′即可；
（2）由全等三角形的性质得出∠BAP=∠BCP′=45°，PA=P′C．证出∠PCP′=∠BCA+∠BCP′=90°．由勾股定理即可得出结论；
（3）设PA=x，则PC=14-x．由勾股定理得出方程，解方程求出PA，证明△CPE∽△ABP．得出对应边成比例求出EC，即可得出BE的长．

解答 （1）证明：∵线段BP绕点B顺时针旋转90°得到线段BP′，
∴BP=BP′，∠PBP′=90°．
∵四边形ABCD是正方形，
∴BA=BC，∠ABC=90°． 
∴∠ABC=∠PBP′．
∴∠ABC-∠PBC=∠PBP′-∠PBC，即∠ABP=∠CBP′．
在△BAP和△BCP′中，$\left\{\begin{array}{l}{BA=BC}&{\;}\\{∠ABP=∠CBP′}&{\;}\\{BP=BP′}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BAP≌△BCP′（SAS）． 

（2）解：结论：PA²+PC²=2PB²．
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC=$\frac{1}{2}$∠BAD=45°，∠BCA=$\frac{1}{2}$∠BCD=45°．
由（1）知，△BAP≌△BCP′，
∴∠BAP=∠BCP′=45°，PA=P′C．
∴∠PCP′=∠BCA+∠BCP′=45°+45°=90°．
在Rt△PCP′中，由勾股定理，得P′C²+PC²=P′P²，
∴PA²+PC²=P′P²．
又在Rt△PBP′中，P′P²=PB²+P′B²=2PB²．
∴PA²+PC²=2PB²． 

（3）解：∵∠ABC=90°，AB=BC=7$\sqrt{2}$，
∴AC=$\sqrt{2}$AB=14．
设PA=x，则PC=14-x．
又∵PB=5$\sqrt{2}$，
∴x²+（14-x）²=2（5$\sqrt{2}$）²，
解得x₁=6，x₂=8．
当x=6时，PA=6，PC=8，符合题意；
当x=8时，PA=8，PC=6，PA＞PC，不符合题意．
∴PA=6，PC=8．
∵∠PBP′=90°，PB=P′B，
∴∠BPP′=45°．
∵∠BPC=∠BAP+∠ABP，
∴∠BPP′+∠CPE=∠BAP+∠ABP，即45°+∠CPE=45°+∠ABP．
∴∠CPE=∠ABP．
又∠PCE=∠BAP=45°，
∴△CPE∽△ABP．
∴$\frac{EC}{PA}=\frac{PC}{BA}$，即$\frac{EC}{6}=\frac{8}{7\sqrt{2}}$．
∴EC=$\frac{24\sqrt{2}}{7}$．
∴BE=BC-EC=7$\sqrt{2}$-$\frac{24\sqrt{2}}{7}$=$\frac{25\sqrt{2}}{7}$．

点评 本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度．