Question

18．问题：如图（a），在四边形ABCD中，M是BC边的中点，且∠AMD=90°．
（1）试判断：AB+CD与AD之间的大小关系；
（2）如图（b），若将∠AMD的度数改为120°，原问题中的条件不变，证明：AB+$\frac{1}{2}$BC+CD≥AD；
（3）如图（c），若∠AMD=135°，AB=1，BC=2$\sqrt{2}$，CD=2，求AD的最大值．

Answer 1

分析 （1）作点B关于AM的对称点E，连结AE，ED，EM，通过证明△ABM≌△AEM，△EMD≌△CMD证得AE=AB，ED=CD，最后通过三角形三关系证得AB+CD＞AD．
（2）根据对称性，作出点B关于AM的对称点B′，点C关于MD的对称点C′，再连接AB′、B′C′、C′D、B′M、C′M，根据轴对称的性质以及∠AMD=120°可以证明△B′C′M是等边三角形，然后根据连接两点的所有线中，线段最短证明．
（3）通过（2）的分析得到∠B′MC′=90°，在等腰Rt△B′MC′中，求得B′C′=2，最后由AD≤AB′+B′C′+C′D求得AD的最大值．

解答 解：（1）如右图，作点B关于AM的对称点E，连结AE，ED，EM，根据轴对称的性质，可得AE=AB，EM=BM，∠AEM=∠B，
∴△AEM≌△ABM，
∴∠ABM=∠AME，
∵∠AMD=90°，
∴∠AMB+∠DMC=180-∠AMD=180°-90°=90°，
∵∠AME+∠EMD=90°，
∴∠EMD=∠DMC，
∵BM=MC=ME，DM=DM，
∴△EMD≌△CMD，
∴ED=DC，
∵AE+ED＞AD，
∴AB+CD＞AD，
（2）证明：如右图，作出点B关于AM的对称点B′，点C关于MD的对称点C′，连接AB′、B′C′、C′D、B′M、C′M，
根据轴对称的性质可得AB′=AB，BM=B′M，CM=C′M，C′D=CD，∠AMB=AMB′，∠DMC=∠DMC′，
∵∠AMD=120°，
∴∠AMB+∠DMC=180°-∠AMD=180°-120°=60°，
∴∠B′MC′=∠AMD-（∠AMB′+∠DMC′）=120°-60°=60°，
∵点M是四边形ABCD的边BC的中点，
∴BM=CM，
∴B′M=C′M，
∴△B′C′M是等边三角形，
∴B′C′=$\frac{1}{2}$BC，
所有，①当点B′、C′在AD上时，AB+$\frac{1}{2}$BC+CD=AD，
②当点B′、C′不在AD上时，根据连接两点的所有线中，线段最短，AB+$\frac{1}{2}$BC+CD＞AD，
综上，AB+$\frac{1}{2}$BC+CD≥AD．
（3）由（2）知当∠AMD=135°时，∠B′MC′=90°，
在Rt△B′MC′中，B′M=MC′=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×$2\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$，
∴B′C′=$\sqrt{{B}^{′}{M}^{2}+{C}^{′}{M}^{2}}$=2
又∵A′B=AB=1，C′D=CD=2，
∴AD≤AB′+B′C′+C′D=1+2+2=5，
∴AD的最大值是5．

点评 本题考查了轴对称的性质，两点间线段最短的性质，作出对称点构造出图形更形象直观，注意证明得到（2）△B′C′M是等边三角形，（3）中△B′C′M是等腰直角三角形非常关键