Question

任何一个单位分数

1

n

都可以写成两个单位分数的和：

1

n

=

1

p

+

1

q

（n，p，q都是正整数）．显然，这里的p，q都大于n．如果设p=n+a，q=n+b，那么有

1

n

=

1

n+a

+

1

n+b

．
（1）探索上式中的正整数a，b与正整数n之间存在什么样的关系（写出推理过程）；
（2）请利用（1）中的结论，分别写出

1

2

，

1

3

等于两个单位分数之和的所有可能情况；
（3）我国宋朝数学家杨辉早在1261年的著作--《详解九章算法》十二卷里提出了如左下图所示的“杨辉三角形”，请观察杨辉三角形的特点，由单位分数能否能垒成类似的“单位分数三角形”？如果能，试在右下图中写第二、三、四行．

Answer 1

分析：（1）分式的两边都乘以n（n+a）（n+b），再整理可得ab=n²；
（2）当n=2时，可求a、b的所有可能数值，从而可求

1

2

分成两个单位分数和的所有情况，同理可求

1

3

分成两个分数和的所有情况；
（3）能，结合（2）中的计算，可知第二行有两个分数，且都等于

1

2

，第三行有3个分数，第一个与第三个都等于

1

3

，第二个等于

1

6

，第四行依次是

1

4

，

1

12

，

1

12

，

1

4

，其它行也依此类推．

解答：解：（1）由

1

n

=

1

n+a

+

1

n+b

，
可得（n+a）（n+b）=n（n+a）+n（n+b），
化简后有ab=n²，
（2）当n=2时，ab=2²=4，于是有a=1或2，b=4或2，
因此

1

2

=

1

3

+

1

6

=

1

4

+

1

4

，
当n=3时，ab=3²=9，于是有a=1或3，b=9或3，
因此

1

3

=

1

4

+

1

12

=

1

6

+

1

6

；
（3）

点评：本题考查了分式的混合运算．解题的关键是把分式化成整式计算．