Question

17．如图1，等腰△ABC中，AB=AC，经过点C的直线l与边AB平行，点P是线段BC上一点，连接AP，作∠APE=∠BAC，角的一边PE交直线l于点E．
（1）探究线段PA与PE的数量关系，并加以说明；
（2）若将图1中“点P是线段BC上一点”改为“点P是射线BC上一点”，其他条件不变，（1）的结论是否成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）连接AE，由平行线的性质得出∠BAC=∠ACE，∠2=∠B，再由已知条件得出∠APE=∠ACE，证出A、P、C、E四点共圆，由圆周角定理得出∠1=∠3，∠2=∠PAE，由等腰三角形的性质得出∠B=∠3，得出∠2=∠3，证出∠PAE=∠1，即可得出结论；
（2）连接AE由平行线的性质得出∠BAC=∠ACE，∠2=∠B，再由已知条件得出∠APE=∠ACE，证出A、C、P、E四点共圆，由圆周角定理得出∠1=∠2，∠3=∠PEA，由等腰三角形的性质得出∠B=∠3，得出∠2=∠3，证出∠PEA=∠1，即可得出结论．

解答 （1）解：PA=PE，理由如下：连接AE，如图1所示：
∵AB∥CE，
∴∠BAC=∠ACE，∠2=∠B，
∵∠APE=∠BAC，
∴∠APE=∠ACE，
∴A、P、C、E四点共圆，
∴∠1=∠3，∠2=∠PAE，
∵AB=AC，
∴∠B=∠3，
∴∠2=∠3，
∴∠PAE=∠1，
∴PA=PE；
（2）解：若将图1中“点P是线段BC上一点”改为“点P是射线BC上一点”，其他条件不变，（1）的结论成立；理由如下：
连接AE，如图2所示：
∵AB∥CE，
∴∠BAC=∠ACE，∠2=∠B，
∵∠APE=∠BAC，
∴∠APE=∠ACE，
∴A、C、P、E四点共圆，
∴∠1=∠2，∠3=∠PEA，
∵AB=AC，
∴∠B=∠3，
∴∠2=∠3，
∴∠PEA=∠1，
∴PA=PE．

点评 本题考查了四点共圆、圆周角定理、等腰三角形的性质与判定、圆内接四边形的性质、平行线的性质等知识；本题综合性强，有一定难度．