Question

16．已知一次函数y=-$\frac{3}{4}$x+6的图象与坐标轴交于A、B点（如图），AE平分∠BAO，交x轴于点E．
（1）求直线AE的表达式；
（2）过点B作BF⊥AE，垂足为F，求线段BF的长度．
（3）若将已知条件“AE平分∠BAO，交x轴于点E”改变为“点E是线段OB上的一个动点（点E不与点O、B重合）”，过点B作BF⊥AE，垂足为F．设OE=x，BF=y，试求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域．

Answer 1

分析 （1）如图1中，设OE=x，作EM⊥AB于M．首先证明△AEO≌△AEM，推出AM=AO=6，由OA=6，OB=8，∠AOB=90°，推出AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，推出BM=4，在Rt△EBM中，根据EM²+BM²=EB²，可得x²+4²=（8-x）²，解方程即可．
（2）根据S_△AEB=$\frac{1}{2}$•EB•OA=$\frac{1}{2}$•AE•BF，即可解决问题．
（3）利用面积即可解决，方法类似（2）．

解答 解：（1）如图1中，

∵一次函数y=-$\frac{3}{4}$x+6的图象与坐标轴交于A、B点，
∴A（0，6），B（8，0），设OE=x，作EM⊥AB于M．
∵AE平分∠OAB，OE⊥OA，
∴OE=EM=x，
在△AEO和△AEM中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AE}\\{OE=EM}\end{array}\right.$，
∴△AEO≌△AEM，
∴AM=AO=6，
∵OA=6，OB=8，∠AOB=90°，
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∴BM=4，
在Rt△EBM中，∵EM²+BM²=EB²，
∴x²+4²=（8-x）²，
∴x=3，
∴E（3，0），
设直线AE的解析式为y=kx+b则$\left\{\begin{array}{l}{b=6}\\{3k+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=6}\end{array}\right.$，
∴直线AE的解析式为y=-2x+6．

（2）由（1）可知OE=3，AE=$\sqrt{O{A}^{2}+O{E}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，EB=5，
∵S_△AEB=$\frac{1}{2}$•EB•OA=$\frac{1}{2}$•AE•BF，
∴BF=$\frac{5×6}{3\sqrt{5}}$=2$\sqrt{5}$．

（3）如图2中，

在Rt△AOE中，OA²+OE²=AE²，
∴AE=$\sqrt{36+{x}^{2}}$，
∵S_△AEB=$\frac{1}{2}$•EB•OA=$\frac{1}{2}$•AE•BF，
∴BF=$\frac{EB•OA}{AE}$=$\frac{6（8-x）}{\sqrt{36+{x}^{2}}}$，
∴y=$\frac{48-6x}{\sqrt{36+{x}^{2}}}$（0＜x＜8）．

点评 本题考查一次函数综合题、全等三角形的判定和性质、三角形的面积．勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用面积法求高，属于中考常考题型．