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    4．已知，△ABC中，AB=AC，90°＜∠BAC＜120°，点P为射线CB上一点，连接PA．
    （1）当∠APC=30°（如图a）时，求证：PC+PB=$\sqrt{3}$PA；
    （2）当∠APC=45°（如图b）时，线段PC、PB、PA间的数量关系为PC-PB=$\sqrt{2}$PA；
    （3）在（2）的条件下，作线段PC的垂直平分线，交PC于点D，交PA的延长线于点E，将射线AC绕点A逆时针旋转135°，交射线CE于点F，若PA=3$\sqrt{2}$，PB=1，求线段EF的长．

    分析 （1）作AD⊥BC垂足为D，延长BC到P′使得PA=AP′，利用AD=APsin30°=（PB+BD）tan30°以及PB+PC=PC+CP′=PP′=2（PB+BD）解决问题．
    （2）AD⊥BC垂足为D，在线段CB上取一点P′使得AP=AP′，利用AD=APsin45°=（BD-PB）tan45°，以及PC-PB=2（BD-PB）解决问题．
    （3）先证明△APB∽△CAF得到∠F=∠B由∠AEF=∠EDB=90°可知△FEA∽△BDE得$\frac{EF}{BD}=\frac{EA}{DE}$，即可解决．

    解答 （1）证明：作AD⊥BC垂足为D，延长BC到P′使得PA=AP′，
    ∵AB=AC，AP=AP′，
    ∴BD=DC，PD=DP′，
    ∴PB=P′C
    ∴PB+PC=PC+CP′=PP′=2（PB+BD）
    ∵∠P=∠P′=30°，
    ∴AD=APsin30°=（PB+BD）tan30°，
    ∴AP$•\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$（PB+PC）•$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
    ∴PB+PC=$\sqrt{3}$AP．
    （2）结论：PC-PB=$\sqrt{2}$PA．
    证明：在图b中，作AD⊥BC垂足为D，在线段CB上取一点P′使得AP=AP′，
    ∵AB=AC，
    ∴BD=DC，DP=DP′，BP=P′C，
    ∴AD=APsin45°=（BD-PB）tan45°，
    ∵PC-PB=2（BD-PB），
    ∴PC-PB=$\sqrt{2}$PA．
    故答案为PC-PB=$\sqrt{2}$PA．
    （3）如图由2可知：PB=CP′=1，PC=7，EP=EC=$\frac{7\sqrt{2}}{2}$，
    ∵AE=PE-AP，
    ∴AE=$\frac{7\sqrt{2}}{2}$-3$\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，AD=PD=DC=3.5，BD=4.5，
    ∵∠BAP=∠APC-∠B=45°-∠B，∠FCA=∠ECP-∠ACB=45°-∠ACB，
    ∵∠B=∠ACB，
    ∴∠PAB=∠FCA，
    ∵∠APB=∠FAC=135°，
    ∴△APB∽△CAF，
    ∴∠F=∠B，
    ∵∠AEF=∠EDB=90°，
    ∴△FEA∽△BDE，
    ∴$\frac{EF}{BD}=\frac{EA}{DE}$，
    ∴$\frac{EF}{4.5}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{3.5}$，
    ∴EF=$\frac{9\sqrt{2}}{14}$．

    点评 本题考查等腰三角形性质、三角函数、相似三角形的判定和性质，综合性比较强，根据对称作辅助线是本题得到解决的关键．

    练习册系列答案
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    6．在$\frac{22}{7}$，-$\sqrt{3}$，$\root{3}{27}$，$\frac{π}{3}$这四个数中，无理数有（　　）
    A．1个B．2个C．3个D．4个

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    7．如图，开口向上的抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=-1，且过点（-3，0），下列说法：①abc＜0；②b-2a=0；③4a+2b+c＜0；④若（$\frac{5}{2}$，y1），（-5，y2）是抛物线上两点，则y1＜y2．其中正确的个数是（　　）
    A．1个B．2个C．3个D．4个

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    4．（1）计算：（-1）2013-|-$\sqrt{2}$|-（-$\frac{1}{2}$）-2+2sin45°-（π-3.14）0+$\root{3}{8}$
    （2）先化简，再求值：$\frac{{x}^{2}-x}{x+1}$•$\frac{{x}^{2}-1}{{x}^{2}-2x+1}$+$\frac{2}{x}$，其中x满足x2-3x+2=0．

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    11．化简或计算：
    （1）$\sqrt{0.09}$-$\sqrt{0.36}$+$\sqrt{1-\frac{7}{16}}$          
    （2）|1-$\sqrt{2}$|+|$\sqrt{2}$-$\sqrt{3}$|+|$\sqrt{3}$-2|
    （3）-$\root{3}{-8}$+$\root{3}{125}$+$\sqrt{（-2）^{2}}$
    （4）$\sqrt{0.25}$+$\sqrt{\frac{9}{22}}$+$\sqrt{0.49}$+|-$\sqrt{\frac{1}{100}}$|

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    9．已知：在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，直线l绕点A旋转，过点B，C分别向直线l作垂线，垂足分别为点D，点E．
    （1）如图1，求证：BD+CE=AE；
    （2）当直线l绕点A顺时针旋转到如图2，则BD，CE，AE之间满足的数量关系是BD+AE=CE
    （3）在（2）的条件下，设CE与AB交于点P，若AP=$\sqrt{5}$，CP=5，连接BE，CD，线段CD分别与线段BP，线段BE相交于M，N两点（如图3），求线段MN的长．

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    16．如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，A（0，6），B（$2\sqrt{3}$，0），且∠OBA=60°，将△OAB沿直线AB翻折，得到△CAB，点O与点C对应．
    （1）求点C的坐标；
    （2）动点F从点O出发，以2个单位长度/秒的速度沿折线O--A--C向终点C运动，设△FOB的面积为S（S≠0），点F的运动时间为t秒，求S与t的关系式，并直接写出t的取值范围；
    （3）在（2）的条件下，过点B作x轴垂线，交AC于点E，在点F的运动过程中，当t为何值时，△BEF是以BE为腰的等腰三角形？

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    13．（1）$\frac{\sqrt{18}×\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$
    （2）${（{\sqrt{2}+\sqrt{5}}）^2}$
    （3）$3\sqrt{8}-4\sqrt{32}$
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    （5）2-$\frac{{\sqrt{27}-\sqrt{12}}}{{\sqrt{3}}}$
    （6）$\sqrt{32}-3\sqrt{\frac{1}{2}}+\sqrt{2}$
    （7）$\sqrt{40}×\sqrt{10}-21$．

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    14．下列语句中正确的是（　　）
    A．角的边越长，角越大
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