Question

如图1，抛物线顶点坐标为点C（1，4），交x轴于点A（3，0），交y轴于点B．
（1）求抛物线和直线AB的解析式；
（2）连结CA，CB，对称轴x=1与线段AB交于点D，求△CAB的铅垂高CD及S_△CAB；
（3）如图2，点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，连结PA，PB，是否存在一点P，使S_△PAB=S_△CAB？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵抛物线的顶点为（1，4），
设抛物线的解析式为y=a（x-1）²+4，
把点A（3，0）代入得：0=a（3-1）²+4，
解得：a=-1，
∴抛物线的解析式为：y=-（x-1）²+4，
即y=-x²+2x+3，
当x=0时，y=3，
∴点B的坐标为（0，3），
设直线AB的解析式为y=kx+b，
把点（3，0），B（0，3）代入得，，
解得，
∴直线的解析式为：y=-x+3；

（2）把x=1代入y=-x+3得：y=2，
则CD=4-2=2，
设对称轴x=1与x轴交于点H，
S_△CAB=CD•OH+CD•HA=CD•OA=×2×3=3；

（3）过点P作PE⊥x轴交线段AB于点F，
设点P（x，-x²+2x+3），则点F（x，-x+3），PF=-x²+2x+3-（-x+3）=-x²+3x，
S_△PAB=PF•OA=×3（-x²+3x）=-x²+x（0＜x＜3），
要使S_△PAB=S_△CAB，
则有-x²+x=×3，即4x²-12x+9=0，
解得：x₁=x₂=，
当x=时，y=-x²+2x+3=，
∴点P的坐标为（，）．
分析：（1）根据顶点坐标可设抛物线的解析式为y=a（x-1）²+4，将点A的坐标代入，求出a的值，即可求得抛物线的解析式，由A、B坐标可求出直线AB的解析式；
（2）求出点D的纵坐标，再由点V的纵坐标即可得出CD的长度；
（3）过点P作PE⊥x轴交线段AB于点F，设点P（x，-x²+2x+3），则点F（x，-x+3），PF=-x²+2x+3-（-x+3）=-x²+3x，表示出S_△PAB，再由S_△PAB=S_△CAB，可得关于x的方程，解出即可．
点评：本题考查了二次函数的综合，涉及了待定系数法求二次函数解析式、三角形的面积、一元二次方程的解，第一、第二问相对较简单，难点在第三问，关键是设出点P坐标，得出点F坐标，表示出PF的长度，根据S_△PAB=S_△CAB建立方程．