Question

10．已知：平面直角坐标系中点A（3，0），B（0，4），点P是射线AB上一动点（点P与点A、B重合），设AP=r，以点P为圆心，r为半径作⊙P，⊙P的交x轴于一点C，直线PC交y轴于点D，点E是BD的中点，射线PE交⊙P于点F，连接OF．
（1）若点C是AO的中点，求r的值；
（2）若AP=$\frac{5}{3}$，求OD的长；
（3）当OF=PF时，求r的值．

Answer 1

分析 （1）根据勾股定理求得AB，过P作PH⊥AC于H，则CH=AH，PH∥BO，得到△APH∽△ABO，得出$\frac{AH}{PA}$=$\frac{AO}{AB}$=$\frac{3}{5}$，从而求得HC=AH=$\frac{3}{5}$r，进而根据题意就可求得r的值；
（2）根据勾股定理求得AB，过P作PH⊥AC于H，则CH=AH，PH∥BO，得到△APH∽△ABO，得出$\frac{AH}{OA}$=$\frac{PH}{OB}$=$\frac{\frac{5}{3}}{5}$=$\frac{1}{3}$，从而得出HC=AH=1，PH=$\frac{4}{3}$，然后根据△PCH∽△DCO，得出$\frac{DO}{PH}$=$\frac{OC}{CH}$=1，从而求得OD=PH=$\frac{4}{3}$．
（3）先求得△DOC∽△BOA，得出∠PDB=∠PBD，求得PB=PD，根据等腰三角形三线合一求得PE⊥BD，进得出PE∥OA，得出四边形OAPF是等腰梯形，进而求得四边形OCPF是菱形，得出OC=PF=PA=r，然后根据OC+AC=OA=3，得出r+$\frac{6}{5}$r=3，解方程即可．

解答 解：（1）如图1，∵AO=3，BO=4，
∴AB=5，
过P作PH⊥AC于H，则CH=AH，PH∥BO，
∴△APH∽△ABO，
∴$\frac{AH}{PA}$=$\frac{AO}{AB}$=$\frac{3}{5}$，
∴HC=AH=$\frac{3}{5}$r，
∵C为AO中点，
∴$\frac{6}{5}$r=$\frac{3}{2}$，
∴r=$\frac{5}{4}$；

（2）如图1，∵AO=3，BO=4，
∴AB=5，
过P作PH⊥AC于H，则CH=AH，PH∥BO，
∴△APH∽△ABO，
∴$\frac{AH}{OA}$=$\frac{PH}{OB}$=$\frac{\frac{5}{3}}{5}$=$\frac{1}{3}$，
∴HC=AH=1，PH=$\frac{4}{3}$，
∴OC=3-1-1=1，
∴OC=CH，
∵PH∥BO，
∴△PCH∽△DCO，
∴$\frac{DO}{PH}$=$\frac{OC}{CH}$=1，
∴OD=PH=$\frac{4}{3}$．
（3）如图2，
∵∠PCA=∠PAC，∠DCO=∠PCA，
∴∠DCO=∠PAC，
∵∠DOC=∠BOA，
∴△DOC∽△BOA，
∴∠PDB=∠PBD．
∴PB=PD，
∵点E是BD的中点，
∴PE⊥BD，
∴PE∥OA，
∵OF=PF，PF=PA，
∴OF=PA，
∴四边形OAPF是等腰梯形，
∴∠AOF=∠OAP，
∵PC=PA，
∴∠OAP=∠PCA，
∴∠AOF=∠PCA，
∴OF∥PC，
∴四边形OCPF是菱形，
∴OC=PF=PA=r，
由（1）可知HC=AH=$\frac{3}{5}$r，
∴AC=$\frac{6}{5}$r，
∵OC+AC=OA=3，
∴r+$\frac{6}{5}$r=3，
∴r=$\frac{15}{11}$．

点评 本题是圆的综合题，考查了三角形相似的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等腰梯形的判定和性质，菱形的判定和性质，作出辅助线构建相似三角形是本题的关键．