Question

5．阅读所给的材料，然后解答问题：如图①，在“格点”直角坐标系上我们可以发现：求线段DE的长度，可以转化为求Rt△DEF的斜边长，例如：在坐标系中我们发现：D（-7，5），E（4，-3），所以DF=|5-（-3）|=8，EF=|4-（-7）|=11，所以据勾股定理可得：DE=$\sqrt{{8}^{2}+1{1}^{2}}$=$\sqrt{185}$．

（1）在图①中用上面的方法可求出线段AB的长为5；
（2）在图②中：设A（x₁．y₁），B（x₂，y₂），试用x₁，x₂，y₁，y₂表示：AC=y₁-y₂，BC=x₁-x₂，AB$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$；
（3）已知A（2，1），B（4，3），试用（2）中得出的结论求线段AB的长；
（4）已知A（2，1），B（4，3），若点C为y轴上的点且使得△ABC是以AB为底边的等腰三角形，试求出点C的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据图①确定出BC与AC的长，利用勾股定理求出AB的长即可；
（2）在图②中，由A与B的坐标表示出AC，BC，利用勾股定理表示出AB的长即可；
（3）利用题中的方法，根据A与B坐标求出AB的长即可；
（4）设C（0，y），由题意得到AC=BC，根据A与B坐标，利用题中的方法列出方程，求出方程的解得到y的值，即可确定出C坐标．

解答 解：（1）根据题意得：AB=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5；
（2）根据题意得：AC=y₁-y₂；BC=x₁-x₂，AB=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$；
（3）∵A（2，1），B（4，3），
∴AB=$\sqrt{（2-4）^{2}+（1-3）^{2}}$=2$\sqrt{2}$；
（4）设C坐标为（0，y），A（4，5），B（1，1），
根据题意得：AC=BC，即$\sqrt{（0-4）^{2}+（y-5）^{2}}$=$\sqrt{（0-1）^{2}+（y-1）^{2}}$，
解得：y=$\frac{39}{8}$，
则C坐标为（0，$\frac{39}{8}$）．
故答案为：（1）5；（2）y₁-y₂；x₁-x₂，$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$

点评 此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，弄清题中阅读材料中求两点间的距离公式是解本题的关键．