Question

如图，在⊙O中，CD是弦AB上的二点，AC=BD，∠FCD=∠HDC，求证：EF=GH．

Answer 1

证明：连接OE，OF，OG，OH；作OM⊥AB于点M；
根据垂径定理可得：MA=MB，又有AC=BD，故MC=MD；进而可得OC=OD；
∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC，
∴∠OCF=∠ODH．
又∵OC=OD，OF=OH，
∴△OCF≌△ODH．
∴∠F=∠H，
又∵OF=OH，OE=OG，
∴∠E=∠F=∠H=∠G，
∴∠E=∠G，∠F=∠H，
又∵OF=OH，
∴△OEF≌△OGH（SSA）．
故有EF=GH．
分析：连接OE，OF，OG，OH；作OM垂直于AB，交AB于点M；根据题意易得OC=OD，进而可得△OCF≌△ODH；由此可得∠OFE=∠OHG，又可得△OEF≌△OGH；根据全等三角形的性质，可得EF=GH．
点评：本题考查垂弦定理、圆心角、圆周角的应用能力．