Question

1．设直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c．若a、b、c均为正整数，且c=$\frac{1}{3}$ab-（a+b），则满足条件的直角三角形的个数为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 先根据此三角形是直角三角形利用勾股定理把原式化为（a-6）（b-6）=18，再根据a，b均为正整数，不妨设a＜b，可得出关于a、b的二元一次方程，求出a、b、c的对应值即可．

解答 解：由勾股定理得c²=a²+b²．
又∵c=$\frac{1}{3}$ab-（a+b），
∴c²=[$\frac{1}{3}$ab-（a+b）]²=$\frac{1}{9}$（ab）²-$\frac{2}{3}$ab（a+b）+（a+b）²，即a2+b2=$\frac{1}{9}$（ab）²-$\frac{2}{3}$ab（a+b）+a²+b²+2ab，
整理得，ab-6（a+b）+18=0，即（a-6）（b-6）=18，
∵a，b均为正整数，不妨设a＜b，
可得$\left\{\begin{array}{l}a-6=1\\ b-6=18\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}a-6=2\\ b-6=9\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}a-6=3\\ b-6=6\end{array}\right.$，
可解出$\left\{\begin{array}{l}a=7\\ b=2\\ c=25\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}a=8\\ b=15\\ c=17\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}a=9\\ b=12\\ c=15\end{array}\right.$，
∴满足条件的直角三角形有3个．
故选C．

点评 本题考查的是三角形的三边关系，涉及到非一次不定方程及勾股定理，解答此题的关键是先利用勾股定理把原式化为两个因式积的形式，再根据a，b均为正整数进行解答．