Question

6．如图，已知∠MAN=120°，AC平分∠MAN，∠ABC+∠ADC=180°，求证：①DC=BC； ②AD+AB=AC．

Answer 1

分析 ①在AN上截取AE=AC，连接CE，先证明△ACE是等边三角形，得出∠AEC=60°，AC=EC=AE，再证明△ADC≌△EBC，得出DC=BC即可；
②由全等三角形的性质得出AD=BE，即可得出结论．

解答 证明：①在AN上截取AE=AC，连接CE，如图所示：
∵AC平分∠MAN，∠MAN=120°，
∴∠CAB=∠CAD=60°，
∴△ACE是等边三角形，
∴∠AEC=60°，AC=EC=AE，
又∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠EBC=180°，
∴∠ADC=∠EBC，
在△ADC和△EBC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAC=∠BEC}&{\;}\\{∠ADC=∠EBC}&{\;}\\{AC=EC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△EBC（AAS），
∴DC=BC，AD=BE；
②由①得：AD=BE，
∴AB+AD=AB+BE=AE，
∴AB+AD=AC．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、等边三角形的判定与性质；通过作辅助线构造全等三角形是解决问题的关键．