Question

16．如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF；
（1）求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；
（2）求证：AB=CE+BF；
（3）若∠CAE=30°，求∠ACF度数．

Answer 1

分析 （1）根据在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF，可以得到Rt△ABE和Rt△CBF全等的条件，从而可以证明Rt△ABE≌Rt△CBF；
（2）根据Rt△ABE≌Rt△CBF，可以得到AB=BC，BE=BF，然后即可转化为AB、CE、BF的关系，从而可以证明所要证明的结论；
（3）根据Rt△ABE≌Rt△CBF，AB=CB，∠CAE=30°，可以得到∠ACF的度数．

解答 （1）证明：∵∠ABC=90°，
∴∠ABE=∠CBF=90°，
在Rt△ABE和Rt△CBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CB}\\{AE=CF}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）；
（2）证明：∵Rt△ABE≌Rt△CBF，
∴AB=BC，BE=BF，
∵BC=BE+CE，
∴AB=CE+BF．
（3）∵AB=CB，∠ABC=90°，∠CAE=30°，∠CAB=∠CAE+∠EAB，
∴∠BCA=∠BAC=45°，
∴∠EAB=15°，
∵Rt△ABE≌Rt△CBF，
∴∠EAB=∠FCB，
∴∠FCB=15°，
∴∠ACF=∠FCB+∠BCA=15°+45°=60°，
即∠ACF=60°．

点评 本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是明确题意，找出所要证明结论需要的条件．