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    20．倡导研究性学习方式，着力教材研究，习题研究，是学生跳出题海，提高学习能力和创新能力的有效途径．下面是一案例，请同学们认真阅读、研究，完成“类比猜想”及后面的问题．
    习题解答
    习题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，连接EF，则EF=BE+DF，说明理由．
    解：
    ∵正方形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠ADC=90°
    ∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADE′，点F、D、E′在一条直线上．
    ∴∠E′AF=90°-45°=45°=∠EAF．
    又∵AE′=AE，AF=AF
    ∴△AE′FF≌△AEF（SAS）
    ∴EF=E′F=DE′+DF=BE+DF．
    习题研究．
    观察分析：
    观察图1，由解答可知，该题有用的条件是①．ABCD是四边形，点E、F分别在边BC、CD上；②．AB=AD；③．∠B=∠D=90°∠；④．∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD．
    类比猜想：
    在四边形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，当AB=AD，∠B=∠D时，还有EF=BE+DF吗？
    要解决上述问题，可从特例入手，请同学们思考：如图2，在菱形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，当∠BAD=120°，∠EAF=60°时，还有EF=BE+DF吗？试证明．
    （2）在四边形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，当AB=AD，∠B+∠D=180°，∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD时，还有EF=BE+DF吗？使用图3证明．
    归纳概括：
    反思前面的解答，思考每个条件的作用，可以得到一个结论“EF=BE+DF”的一般命题：在四边形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，当AB=AD，∠B+∠D=180°，∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD时，EF=BE+DF．

    分析 （1）把△ABE绕点A逆时针旋转120°至△ADE′，如图（2），连结E′F，根据菱形和旋转的性质得到AE=AE′，∠EAF=∠E′AF，利用“SAS”证明△AEF≌△AE′F，得到EF=E′F；由于∠ADE′+∠ADC=120°，则点F、D、E′不共线，所以DE′+DF＞EF，即由BE+DF＞EF；
    （2）把△ABE绕点A逆时针旋转∠BAD的度数至△ADE′，如图（3），根据旋转的性质得到AE′=AE，∠EAF=∠E′AF，然后利用“SAS”证明△AEF≌△AE′F，得到EF=E′F，由于∠ADE′+∠ADC=180°，知F、D、E′共线，因此有EF=DE′+DF=BE+DF；根据前面的条件和结论可归纳出结论．

    解答 解：（1）如图（2），

    当∠BAD=120°，∠EAF=60°时，EF=BE+DF不成立，EF＜BE+DF．
    理由如下：
    ∵在菱形ABCD中，∠BAD=120°，∠EAF=60°，
    ∴AB=AD，∠1+∠2=60°，∠B=∠ADC=60°，
    ∴把△ABE绕点A逆时针旋转120°至△ADE′，如图（2），连结E′F，
    ∴∠EAE′=120°，∠1=∠3，AE′=AE，DE′=BE，∠ADE′=∠B=60°，
    ∴∠2+∠3=60°，
    ∴∠EAF=∠E′AF，
    在△AEF和△AE′F中
    $\left\{\begin{array}{l}{AE=AE′}\\{∠EAF=∠E′AF}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
    ∴△AEF≌△AE′F（SAS），
    ∴EF=E′F，
    ∵∠ADE′+∠ADC=120°，即点F、D、E′不共线，
    ∴DE′+DF＞EF
    ∴BE+DF＞EF；
    （2）当AB=AD，∠B+∠D=180°，∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD时，EF=BE+DF成立．
    理由如下：如图（3），

    ∵AB=AD，
    ∴把△ABE绕点A逆时针旋转∠BAD的度数至△ADE′，如图（3），
    ∴∠EAE′=∠BAD，∠1=∠3，AE′=AE，DE′=BE，∠ADE′=∠B，
    ∵∠B+∠D=180°，
    ∴∠ADE′+∠D=180°，
    ∴点F、D、E′共线，
    ∵∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD，
    ∴∠1+∠2=$\frac{1}{2}$∠BAD，
    ∴∠2+∠3=$\frac{1}{2}$∠BAD，
    ∴∠EAF=∠E′AF，
    在△AEF和△AE′F中
    $\left\{\begin{array}{l}{AE=AE′}\\{∠EAF=∠E′AF}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
    ∴△AEF≌△AE′F（SAS），
    ∴EF=E′F，
    ∴EF=DE′+DF=BE+DF；

    点评 本题是几何变换综合题：熟练掌握特殊平行四边形的性质和旋转的性质；会运用三角形全等的判定与性质解决线段相等的问题．

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