在平面直角坐标系xOy中.A.对于线段AB和x轴上方的点P给出如下定义:当45°≤∠APB≤90°时.称点P为线段AB的“半月点．(1)若 m=2时.①在点C.D.E中.线段AB的“半月点有D.E,②在直线y=x+b上存在线段AB的“半月点 .求b的取值范围．(2)请从下面两个问题中任选一个作答．温馨提示:两题均答不重复计分．问题一:直线y=-x+14与x轴交于� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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6．在平面直角坐标系xOy中，A（m，0），B（m+4，0），对于线段AB和x轴上方的点P给出如下定义：当45°≤∠APB≤90°时，称点P为线段AB的“半月点”．
（1）若 m=2时，
①在点C（3，1 ），D（ 5，3 ），E（ 2，4 ）中，线段AB的“半月点”有D、E；
②在直线y=x+b上存在线段AB的“半月点”，求b的取值范围．
（2）请从下面两个问题中任选一个作答．
温馨提示：两题均答不重复计分．
问题一：直线y=-x+14与x轴交于点M，与y轴交于点N，若线段AB的所有“半月点”都在△MON内部，直接写出m的取值范围．
问题二：点G（3，-1），点P为线段AB的“半月点”，直线GP把线段AB分成1：3两部分，当m=1时，直接写出点P的横坐标的取值范围．

分析（1）①如图画出“半月型”的图形即可判断；②当直线y=x+b经过点B（6，0）时，b=-6，当直线与$\widehat{AEB}$相切时，由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+b}\\{（x-4）^{2}+（y-2）^{2}=8}\end{array}\right.$，消去y整理得到2x²+（2b-12）x+b²-4b+12=0，由题意△=0，可得b²+4b-12=0，解得b=2或-6，由此即可判断；
（2）问题一：易知“半月型”的大圆半径为2$\sqrt{2}$，小圆半径为2，当“半月型”与y轴相切时，m=2$\sqrt{2}$-2，当“半月型”与直线y=-x+14相切时，易知切点为（10，4），此时B（10，0），m=6，即可推出当$2\sqrt{2}-2$＜m＜6时，线段AB的所有“半月点”都在△MON内部．
问题二：如图3中，直线PG分线段AB三等分，①当直线PG经过Q（2，0）时，直线PG的解析式为y=-x+2，由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+2}\\{（x-3）^{2}{+y}^{2}=4}\end{array}\right.$解得M（$\frac{5-\sqrt{7}}{2}$，$\frac{-1+\sqrt{7}}{2}$），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+2}\\{（x-3）^{2}+（y-2）^{2}=8}\end{array}\right.$，解得H（$\frac{3-\sqrt{7}}{2}$，$\frac{\sqrt{7}+1}{2}$），可得点P的横坐标的范围为$\frac{{3-\sqrt{7}}}{2}$≤x≤$\frac{{5-\sqrt{7}}}{2}$．
②当直线PG经过F（4，0）时，同法可求；

解答解：（1）①如图1中，观察图象可知，线段AB的“半月点”有D，E．
故答案为D、E．

②如图2中，

①当直线y=x+b经过点B（6，0）时，b=-6，
②当直线与$\widehat{AEB}$相切时，由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+b}\\{（x-4）^{2}+（y-2）^{2}=8}\end{array}\right.$，消去y整理得到2x²+（2b-12）x+b²-4b+12=0，
由题意△=0，可得b²+4b-12=0，解得b=2或-6，
综上所述，在直线y=x+b上存在线段AB的“半月点”，b的取值范围为-6≤b≤2．
-6＜b≤2．

（3）问题1：易知“半月型”的大圆半径为2$\sqrt{2}$，小圆半径为2，
当“半月型”与y轴相切时，m=2$\sqrt{2}$-2，
当“半月型”与直线y=-x+14相切时，易知切点为（10，4），此时B（10，0），m=6，
∴当$2\sqrt{2}-2$＜m＜6时，线段AB的所有“半月点”都在△MON内部．

问题2：如图3中，

∵直线PG分线段AB三等分，
①当直线PG经过Q（2，0）时，
直线PG的解析式为y=-x+2，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+2}\\{（x-3）^{2}{+y}^{2}=4}\end{array}\right.$解得M（$\frac{5-\sqrt{7}}{2}$，$\frac{-1+\sqrt{7}}{2}$），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+2}\\{（x-3）^{2}+（y-2）^{2}=8}\end{array}\right.$，解得H（$\frac{3-\sqrt{7}}{2}$，$\frac{\sqrt{7}+1}{2}$），
∴点P的横坐标的范围为$\frac{{3-\sqrt{7}}}{2}$≤x≤$\frac{{5-\sqrt{7}}}{2}$．
②当直线PG经过F（4，0）时，
直线PG的解析式为y=-x-4，同法可得点P的横坐标的取值范围为$\frac{{7+\sqrt{7}}}{2}$≤x≤$\frac{{9+\sqrt{7}}}{2}$，
综上所述，满足条件的点P的横坐标的取值范围为$\frac{{7+\sqrt{7}}}{2}$≤x≤$\frac{{9+\sqrt{7}}}{2}$，$\frac{{3-\sqrt{7}}}{2}$≤x≤$\frac{{5-\sqrt{7}}}{2}$．

点评本题考查一次函数综合题、圆、一元二次方程组、根的判别式等知识，解题的关键是学会利用辅助圆解决问题，学会用转化的思想思考问题，学会用方程组解决有关交点问题，属于中考压轴题．

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