Question

16．如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=12，以BC为斜边在矩形外部作直角三角形BEC，F为CD的中点，则EF的最大值为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{433}}{2}$
• B． $\frac{25}{4}$
• C． $\frac{25}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{433}}{4}$

Answer 1

分析 由∠BEC=90°知点E在以BC为直径的⊙O上，连接FO并延长交⊙O于点E′，此时E′F最长，利用勾股定理求得OF=$\frac{13}{2}$，从而由E′F=OE′+OF可得答案．

解答 解：由题意知∠BEC=90°，
∴点E在以BC为直径的⊙O上，如图所示：

由图可知，连接FO并延长交⊙O于点E′，
此时E′F最长，
∵CO=$\frac{1}{2}$BC=6、FC=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{5}{2}$，
∴OF=$\sqrt{O{C}^{2}+C{F}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+（\frac{5}{2}）^{2}}$=$\frac{13}{2}$，
则E′F=OE′+OF=6+$\frac{13}{2}$=$\frac{25}{2}$，
故选：C．

点评 本题主要考查圆周角定理及勾股定理，根据圆周角定理得出点E在以BC为直径的⊙O上，从而确定出使EF最长的点E的位置是解题的关键．