Question

7．已知函数y=4x²-4（m+3）x+m²+6m，求证函数图象与x轴恒有两个交点A，B，并求|AB|的值．

Answer 1

分析 由△=16（m+3）²-4×4（m²+6m）=144＞0，于是得到函数图象与x轴恒有两个交点A，B，设A（x₁，0），B（x₂，0），于是得到|AB|=|x₁-x₂|=3．

解答 解：∵函数y=4x²-4（m+3）x+m²+6m，
∴△=16（m+3）²-4×4（m²+6m）=144＞0，
∴函数图象与x轴恒有两个交点A，B，
设A（x₁，0），B（x₂，0），
∴|AB|=|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}}$=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{（m+3）^{2}-（{m}^{2}+6m）}$=3．

点评 本题考查了抛物线与x轴的两交点之间的距离，熟练掌握抛物线与x轴的两交点之间的距离公式是解题的关键．