Question

17．如图，AB、CD是⊙O的直径，BE是⊙O的弦，且BE∥CD，过点C的切线与EB的延长线交于点P，连接BC．
（1）求证：BC平分∠ABP；
（2）求证：PC²=PB•PE；
（3）若BE-BP=PC=4，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）由BE∥CD知∠1=∠3，根据∠2=∠3即可得∠1=∠2；
（2）连接EC、AC，由PC是⊙O的切线且BE∥DC，得∠1+∠4=90°，由∠A+∠2=90°且∠A=∠5知∠5+∠2=90°，根据∠1=∠2得∠4=∠5，从而证得△PBC∽△PCE即可；
（3）由PC²=PB•PE、BE-BP=PC=4求得BP=2、BE=6，作EF⊥CD可得PC=FE=4、FC=PE=8，再Rt△DEF≌Rt△BCP得DF=BP=2，据此得出CD的长即可．

解答 解：（1）∵BE∥CD，
∴∠1=∠3，
又∵OB=OC，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠2，即BC平分∠ABP；

（2）如图，连接EC、AC，

∵PC是⊙O的切线，
∴∠PCD=90°，
又∵BE∥DC，
∴∠P=90°，
∴∠1+∠4=90°，
∵AB为⊙O直径，
∴∠A+∠2=90°，
又∠A=∠5，
∴∠5+∠2=90°，
∵∠1=∠2，
∴∠5=∠4，
∵∠P=∠P，
∴△PBC∽△PCE，
∴$\frac{PC}{PE}$=$\frac{PB}{PC}$，即PC²=PB•PE；

（3）∵BE-BP=PC=4，
∴BE=4+BP，
∵PC²=PB•PE=PB•（PB+BE），
∴4²=PB•（PB+4+PB），即PB²+2PB-8=0，
解得：PB=2，
则BE=4+PB=6，
∴PE=PB+BE=8，
作EF⊥CD于点F，
∵∠P=∠PCF=90°，
∴四边形PCFE为矩形，
∴PC=FE=4，FC=PE=8，∠EFD=∠P=90°，
∵BE∥CD，
∴$\widehat{DE}$=$\widehat{BC}$，
∴DE=BC，
在Rt△DEF和Rt△BCP中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{DE=BC}\\{EF=CP}\end{array}\right.$，
∴Rt△DEF≌Rt△BCP（HL），
∴DF=BP=2，
则CD=DF+CF=10，
∴⊙O的半径为5．

点评 本题主要考查切线的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行线的性质、切线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质等知识点是解题的关键．