Question

关于x的一元二次方程x²+（2k-1）x+k²=0的两实数根x₁，x₂满足x₁²-x₂²=0．
（1）求k的值；
（2）若双曲线（x＞0）经过Rt△OAB斜边OB的中点D，与直角边AB交于C（如图），求S_△OBC．

Answer 1

解：（1）∵x²+（2k-1）x+k²=0有两根，
∴△=（2k-1）²-4k²≥0，
即k≤．
由x₁²-x₂²=0得：（x₁-x₂）（x₁+x₂）=0．
当x₁+x₂=0时，-（2k-1）=0，解得k=不合题意，舍去；
当x₁-x₂=0时，x₁=x₂，△=（2k-1）²-4k²=0，
解得：k=符合题意．

（2）∵y=，k=，
∴双曲线的解析式为：y=．
过D作DE⊥OA于E，则S_△ODE=S_△OCA=×1=；
∵DE⊥OA，BA⊥OA，
∴DE∥AB，
∴△ODE∽△OBA，
∴=（）²=4，
∴S_△OBA=4×=2，
∴S_△OBC=S_△OBA-S_△OCA=2-=．
分析：（1）首先由一元二次方程根的判别式得出k的取值范围，然后由x₁²-x₂²=0得出x₁-x₂=0或x₁+x₂=0，再运用一元二次方程根与系数的关系求出k的值，由k的几何意义，可知S_△OCA=|k|．
（2）过D作DE⊥OA于E，则S_△ODE=|k|．易证△ODE∽△OBA，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，得出S_△OBA，最后由S_△OBC=S_△OBA-S_△OCA，得出结果．
点评：本题综合考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，反比例函数比例系数k的几何意义，相似三角形的性质等多个知识点．此题难度稍大，综合性比较强，注意对各个知识点的灵活应用．