Question

如图，正方形ABCD的两条对角线相交于点O，∠ACD的平分线交BD于F，交AD于E．
（1）求证：BF=BC；
（2）求证：AE=2OF．

Answer 1

考点：正方形的性质,等腰三角形的判定与性质,三角形中位线定理

专题：证明题

分析：（1）根据正方形的对角线平分一组对角线可得∠ACB=∠ACD=∠BCD=45°，再根据角平分线的定义求出∠ACF=22.5°，然后求出∠BCF=67.5°，再根据三角形的内角和定理求出∠BFC=67.5°，从而得到∠BCF=∠BFC，再根据等角对等边证明即可；
（2）过点O作OH∥BC交CF于H，根据两直线平行，同位角相等可得∠OHF=∠BCF，然后求出OF=OH，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得AE=2OH，从而得证．

解答：证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB=∠ACD=∠BCD=45°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACF=22.5°，
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=45°+22.5°=67.5°，
在△BCF中，∠BFC=180°-45°-67.5°=67.5°，
∴∠BCF=∠BFC，
∴BF=BC；

（2）如图，过点O作OH∥BC交CF于H，
则∠OHF=∠BCF，
∵∠BCF=∠BFC，
∴∠BFC=∠OHF，
∴OF=OH，
∵点O为正方形对角线AC、BD的交点，
∴OA=OC，
∴OH是△ACE的中位线，
∴AE=2OH，
∴AE=2OF．

点评：本题考查了正方形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的判定，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记各性质与定理是解题的关键．